Determine a transformada de Fourier inversa das funções a seguir utilizando a tabela de transformadas vista em sala de aula.

e - | ω |

Passo 1

Oiie, tudo bem com você?

Nesta questão temos que calcular a transformada de Fourier inversa de uma função da forma

e - | ω |

para isso devemos usar uma tabela de transformadas inversas conhecidas! O enunciado indica uma tabela oficial nas notas de aula, mesmo sem ter acesso a esta tabela, existem resultados conhecidos que irei utilizar, belezinha? Nesta questão devemos partir do resultado

F ( ω ) = 2 π ∫ - ∞ ∞ a 1 + a 2 x 2 e - i ω x d x = e - | ω | a ,   a > 0         ( 1 )

Vamos tentar usar esse resultado agora!

Passo 2

Se identificarmos que na equação ( 1 ) que quando a = 1 , temos que

F ( ω ) = 2 π ∫ - ∞ ∞ 1 1 + x 2 e - i ω x d x = e - | ω |

temos que nossa função é dada por

f ( x ) = 2 π 1 1 + x 2

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

f ( x ) = 2 π 1 1 + x 2

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Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π