Exercícios Resolvidos de Obtenção da Série de Fourier

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Enunciado

Se

∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ π n x 3 = x ,     x ∈ [ 0,3 [

Então o valor de b n para n ∈ N é:

a   b n = 2 - 1 n + 1 π n

b   b n = 3 - 1 n + 1 π n

c   b n = 3 - 1 n π n

d   b n = 6 - 1 n + 1 π n

e   b n = 6 - 1 n π n

Passo 1

Bom, pela série de Fourier temos a seguinte relação:

∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ π n x L = f ( x )

b n = 1 L ∫ - L L f ( x ) sen ⁡ π n x L d x ,     n = 1,2 , 3 , …

Então vamos aplicar isso aqui, sabendo que L = 3 e que a f ( x ) está definida para x ∈ [ 0,3 [ :

b n = 1 3 ∫ - 3 3 x sen ⁡ π n x 3 d x

b n = 2 3 ∫ 0 3 x sen ⁡ π n x 3 d x

Passo 2

Aqui vamos usar a integração por partes. Lembra da fórmula? Olha só:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Chamando:

u = x → d u = d x

d v = sen ⁡ π n x 3 d x → v = - 3 π n cos ⁡ n π x 3

Ficamos com:

2 3 ∫ 0 3 x sen ⁡ π n x 3 d x = 2 3 - 3 x π n cos ⁡ n π x 3 0 3 - ∫ 0 3 - 3 π n cos ⁡ n π x 3 d x

Substituindo valores:

2 3 ∫ 0 3 x sen ⁡ π n x 3 d x = 2 3 - 9 π n cos ⁡ 3 n π 3 + 3.0 π n cos ⁡ 0 + ∫ 0 3 3 π n cos ⁡ n π x 3 d x

Resolvendo a integral e simplificando:

2 3 ∫ 0 3 x sen ⁡ π n x 3 d x = 2 3 - 9 π n cos ⁡ n π + 9 π 2 n 2 sen ⁡ n π x 3 0 3

Substituindo os valores restantes e usando que cos ⁡ n π = - 1 n

2 3 ∫ 0 3 x sen ⁡ π n x 3 d x = 2 3 - 9 π n - 1 n + 9 π 2 n 2 sen ⁡ n π 3 3 - 9 π 2 n 2 sen ⁡ 0

2 3 ∫ 0 3 x sen ⁡ π n x 3 d x = 2 3 9 π n - 1 n + 1 + 9 π 2 n 2 sen ⁡ n π

Sabendo que sen ⁡ n π = 0 para todo n ∈ N :

2 3 ∫ 0 3 x sen ⁡ π n x 3 d x = 2 3 9 π n - 1 n + 1

2 3 ∫ 0 3 x sen ⁡ π n x 3 d x = 2 π n 3 - 1 n + 1

Finalmente:

b n = 6 - 1 n + 1 π n

Resposta

d b n = 6 - 1 n + 1 π n

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