Considere a função f ( x ) = x definida no intervalo [ 0 , π ] .

( c ) Calcule os coeficientes da série de Fourier de f em cossenos.

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

Temos a função

f ( x ) = x

na alternativa ( a ) , obtivemos a extensão par da função f ( x ) como

g ( x ) = x ,       s e   0 ≤ x ≤ π e g ( x ) = - x ,         s e   - π ≤ x ≤ 0

Para calcularmos a série de Fourier em cossenos, precisaremos da extensão par g ( x ) , e aplicar a seguinte definição

f ( x ) = a 0 2 + ∑ m = 1 ∞ ( a m c o s ( m π x L ) + b m s e n ( m π x L ) )

Belezinha! Eu vou apresentar as expressões para os coeficientes uma de cada vez! Bora lá!

Passo 2

A primeira coisa que podemos dizer é que como estamos lidando com a série em cossenos, os coeficientes b m no seno são iguais a 0 ! Portanto, vamos apenas nos preocupar com a 0 e a m , temos que

a m = 1 L ∫ - L L g ( x ) c o s ( m π x L ) d x

como temos que g ( x ) é uma função par assim como c o s ( m π x L ) , então o produto g ( x )   c o s ( m π x L ) é par, de forma que podemos transformar a integral acima em

a m = 1 L ∫ - L L g ( x ) c o s ( m π x L ) d x = 2 L ∫ 0 L g ( x ) c o s ( m π x L ) d x

em particular, temos que

a 0 = 2 L ∫ 0 L g ( x ) d x

Vamos resolver as integrais! Bora lá!

Passo 3

Usando que L = π , temos que para a 0 a seguinte integral

a 0 = 2 π ∫ 0 π x d x

usando a identificação

∫ 0 π x d x = x 1 + 1 1 + 1 | 0 π = 1 2 x 2 | 0 π

Podemos escrever

a 0 = 1 π [ x 2 ] 0 π = π

Vamos partir agora para o cálculo dos outros coeficientes! Vem comigo!

Passo 4

Os coeficientes a m são resultados da integral

a m = 2 π ∫ 0 π x   c o s ( m x ) d x

essa integração precisa ser realizada por partes já que temos um produto de polinômio com função trigonometria em seu integrando! Usando LIPTE (Logaritmo, Inversa, Polinômio, Trigonométrica, Exponencial) para determinar a escolha de u na seguinte fórmula

∫ a b u d v = u v | a b - ∫ a b v d u

temos que

u = x e d u = d x

e, portanto

d v = c o s ( m x ) d x e v = ∫ c o s ( m x ) d x = 1 m s e n ( m x )

Aplicando a fórmula da integral por partes, temos que

∫ 0 π x   c o s ( m x ) d x = 1 m x   s e n ( m x )   | 0 π - 1 m ∫ 0 π s e n ( m x )   d x

Como temos que s e n ( m π ) = 0 , avaliar os limites no primeiro termo nos leva a 0 , restando apenas a integral

∫ 0 π x   c o s ( m x ) d x = - 1 m ∫ 0 π s e n ( m x )   d x

que pode ser identificada diretamente como

∫ 0 π s e n ( m x )   d x = - 1 m c o s ( m x ) | 0 π = 1 m 2 [ c o s ( m π ) - 1 ]

Maravilha! Falta apenas mais um detalhe! E, essa questão já era! Bora que Bora!

Passo 5

Vamos substituir o resultado que obtivemos no passo anterior na fórmula para o a m , temos que

a m = 2 π m 2 [ c o s ( m π ) - 1 ]

note que aqui temos duas possibilidades quando m = 2 n , um número par, temos que c o s ( 2 n π ) = 1 , e portanto, temos que

a 2 n = 2 π [ 2 n ] 2 [ 1 - 1 ] = 0

mas quando, temos que m = 2 n - 1 , um número ímpar, temos que c o s [ ( 2 n - 1 ) π ] = - 1 , temos que

a 2 n - 1 = 2 π ( 2 n - 1 ) 2 [ - 1 - 1 ] = - 4 π ( 2 n - 1 ) 2

A série de Fourier é dada então por

f ( x ) = π 2 - 4 π ∑ n = 1 ∞ 1 ( 2 n - 1 ) 2 c o s [ ( 2 n - 1 ) x ]

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

f ( x ) = π 2 - 4 π ∑ n = 1 ∞ 1 ( 2 n - 1 ) 2 c o s [ ( 2 n - 1 ) x ]

Exercícios de Livros Relacionados

Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π