Mostre que

∫ 0 ∞ s e n ( x ) x e - x d x = π 4 .

Passo 1

Oiie, tudo certinho contigo?

Temos que demonstrar que

∫ 0 ∞ s e n ( x ) x e - x d x = π 4

bem… não tem muito mais o que dizer, precisamos resolver a integral imprópria acima! Existem diversas maneiras de resolver esse problema, uma que eu estou um pouco mais confortável em apresentar para vocês é utilizar expressões em série de potências conhecidas que podem nos ajudar a simplificar o problema! Bora lá!

Passo 2

A função seno pode ser aproximada para a seguinte expressão em série de potências

s e n ( x ) = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) k x 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) !

usando isso em nosso integrando, temos que

∫ 0 ∞ s e n ( x ) x e - x d x = ∫ 0 ∞ e - x x ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) k x 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) ! d x

Mas qual a vantagem disso? Como temos que a soma está em k , e não em x , podemos tirar a somatória da integral junto com alguns termos para obter

∫ 0 ∞ e - x x ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) k x 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) ! = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) k ( 2 k + 1 ) ! ∫ 0 ∞ e - x x x 2 k + 1 d x

Agora, usando propriedades da exponenciação, podemos escrever que x 2 k + 1 / x = x 2 k , de forma, que nossa integral se torna um pouco mais simples

∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) k ( 2 k + 1 ) ! ∫ 0 ∞ e - x x x 2 k + 1 d x = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) k ( 2 k + 1 ) ! ∫ 0 ∞ x 2 k e - x d x

Vamos tentar resolver isso agora! Vem comigo!

Passo 3

A integral restante também é tabelada e pode ser encontrada em uma lista de integrais exponenciais (junto com integrais gaussianas por exemplo), essa em particular obedece a seguinte relação

Note que temos que n = 2 k , um inteiro e a = 1 , portanto, a nossa expressão se torna

∫ 0 ∞ x 2 k e - x d x = ( 2 k ) ! ( 1 ) 2 k + 1 = ( 2 k ) !

De forma que nossa integral original é simplesmente

∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) k ( 2 k + 1 ) ! ∫ 0 ∞ x 2 k e - x d x = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) k ( 2 k + 1 ) ! ( 2 k ) ! = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) k ( 2 k + 1 )

em que usei na última igualdade que ( 2 k + 1 ) ! = ( 2 k + 1 ) ( 2 k ) ! . A série que restou também é conhecida, ela é a fórmula de Leibniz para π , que pode ser identificada diretamente como

∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) k ( 2 k + 1 ) = π 4

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

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Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π