Obtenha a série de Fourier em cossenos de cada uma das funções a seguir. Você pode utilizar a applet da Sagemath disponibilizada no Moodle. Em cada caso, esboce seu gráfico no intervalo - 3 L ,   3 L .

e )   f x = x 3 ,       0 ≤ x ≤ L .

Passo 1

E aí gente, tudo bem com vocês?

Nessa questão recebemos a função:

f x = x 3   ,   0 ≤ x ≤ L

E, precisamos determinar a sua série de Fourier apenas em cossenos.

Sempre que queremos obter uma série de Fourier apenas em cossenos, precisamos que a função esteja definida como uma função par e periódica.

O problema é que a função dada não é nem par nem periódica no intervalo em que foi definida. Lembra que pra uma função ser par ela precisa obedecer:

f x =   f ( - x )

E, isso não é obedecido para f .

Nessas situações precisamos expandir o intervalo de definição de f (observa que nesse problema ela foi definida apenas em [ 0 , L ] ) de modo a torná-la par e periódica.

Depois disso, podemos seguir a ideia normal de série de Fourier de funções pares. Temos que:

f x   ~ a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n c o s n π x L

onde:

a n = 2 L ∫ 0 L f x c o s n π x L d x   ,         n = 0,1 , 2,3 , …

Tranquilo até aqui? Vem comigo que vai ficar ainda mais claro!

Passo 2

Bom, pra começar vamos definir f de modo que ela seja par e periódica.

Pra ela ser par, precisa ser obedecido:

f x =   f - x

∴ f - x = x 3           ,           0 ≤ x ≤ L

Então, - L ≤ - x ≤ 0 . Assim, para definir nossa função no intervalo [ - L , 0 ] , basta trocarmos ( - x ) por x na expressão acima:

f x = - x 3

∴ f x =   - x 3

Daí, podemos definir f como:

f x = - x 3 ,     - L < x < 0 0 ,     x ∈ Z x 3   ,     0 < x < L

com f periódica de período 2 L .

Uma observação rápida galera:

Quando definimos a função dessa forma, significa que estamos desenhando a curva no intervalo [ - L , L ] e para os outros pontos dos reais, apenas vamos “colando” a mesma curva. Isso basicamente é um modo de definir f a facilitar o formalismo matemático.

Caso contrário, precisaríamos escrever algo do tipo:

f x =   x 3   ,     0 ≤ x ≤ L x - L 3 ,     L ≤ x ≤ 2 L x - 2 L 3 ,     2 L ≤ x ≤ 3 L

E, assim por diante pra infinitos trechos... Agora sacaram porque apenas escrevemos a definição no intervalo [ - L , L ] e dizemos que ela é periódica de período 2 L ?

Perfeito! Vamos então desenhar o seu gráfico no intervalo [ - 3 L , 3 L ] :

(consideramos L = 1 para fins do gráfico, sem perda de generalidade).

onde f se anula para todo x ∈ Z .

Perfeito! Temos f par e periódica.

Passo 3

Agora vamos calcular efetivamente a série de Fourier de f ( x ) . Para isso precisamos calcular os coeficientes a n :

a n = 2 L ∫ 0 L x 3 c o s n π x L d x

Galera, em geral, aparece um problema quando colocamos n = 0 , pois durante a integração acaba aparecendo um n no denominador. Então, vamos começar calculando a 0 separadamente, e depois calculamos a n para um n   qualquer ( ∈ N ).

a 0 = 2 L ⋅ ∫ 0 L x 3 d x

= 2 L ⋅ x 4 4 0 L

∴ a 0 = L 3 2

Agora sim, vamos para o cálculo de a n com n ∈ N - { 0 } . Precisamos resolver a integral:

∫ 0 L x 3 c o s n π x L d x

Para isso, vamos utilizar o método de integração por partes. Dando uma rápida revisada nele, temos:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Assim, fazendo:

u = x 3 d v = cos ⁡ n π x L

Temos:

∫ 0 L x 3 c o s n π x L d x = x 3 L n π ⋅ s e n n π x L 0 L - 3 L n π ⋅ ∫ 0 L x 2 ⋅ s e n n π x L

Como s e n n π = 0 , dado que n ∈ N , vem que:

∫ 0 L x 3 c o s n π x L d x = - 3 L n π ⋅ ∫ 0 L x 2 ⋅ s e n n π x L

Para resolver essa integral também vamos utilizar o método de integração por partes.

Show de bola!

Passo 4

No caso da nossa integral, vamos chamar:

u = x 2 d v =   s e n n π x L

Assim:

∫ 0 L x 2 s e n n π x L d x = x 2 L n π ⋅ - cos ⁡ n π x L 0 L + 2 L n π ⋅ ∫ 0 L x ⋅ cos ⁡ n π x L d x

O problema é que essa segunda integral também precisa ser calculada usando o método de integração por partes, daí fazendo:

u = x d v = cos ⁡ n π x L

Temos:

∫ 0 L x ⋅ cos ⁡ n π x L d x = x L n π ⋅ s e n n π x L 0 L - L n π ⋅ ∫ 0 L s e n n π x L d x

= L 2 n π ⋅ s e n n π - L n π ⋅ L n π ⋅ - cos ⁡ n π x L 0 L

Como n ∈ N , temos que:

s e n n π = 0

Assim:

∫ 0 L x ⋅ cos ⁡ n π x L d x = 0 + L 2 n 2 π 2 ⋅ c o s ⁡ ( n π ) - L 2 n 2 π 2

Beleza, substituindo isso na nossa equação principal do cálculo da integral, temos:

∫ 0 L x 2 s e n n π x L d x = x 2 L n π ⋅ - cos ⁡ n π x L 0 L + 2 L n π ⋅ L 2 n 2 π 2 cos ⁡ n π - 1

=   - L 3 n π ⋅ cos ⁡ n π + 2 L n π ⋅ L 2 n 2 π 2 cos ⁡ n π - 1

Como:

cos ⁡ n π = 1 ⇔ n   p a r cos ⁡ n π = - 1 ⇔ n   í m p a r

Então,

- Se n   par:

cos ⁡ n π - 1 = 0

∴ ∫ 0 L x 2 s e n n π x L d x = - L 3 n π

- Se n ímpar:

cos ⁡ n π - 1 = - 2

∴ ∫ 0 L x 2 s e n n π x L d x = L 3 n π 1 - 4 n 2 π 2

Substituindo esses resultados em a n , temos:

a n = 2 L ∫ 0 L x 3 c o s n π x L d x

- Se n é par:

a n = 2 L ⋅ - 3 L n π ⋅ - L 3 n π

⇒ a n =   6 L 3 n 2 π 2

- Se n é ímpar:

a n = 2 L ⋅ - 3 L n π ⋅ L 3 n π 1 - 4 n 2 π 2

⇒ a n =   - 6 L 3 n 2 π 2 ⋅ 1 - 4 n 2 π 2

Perfeito!

Assim, podemos finalmente escrever a série de Fourier de f ( x ) . Lembrando que:

f x   ~ a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n c o s n π x L

Temos:

f x   ~ L 3 4 + ∑ n = 1 ∞ 6 L 3 2 n 2 π 2 ⋅ cos ⁡ 2 n π x L - 6 L 3 2 n - 1 2 π 2 ⋅ 1 - 4 2 n - 1 2 π 2 ⋅ c o s 2 n - 1 π x L

(Separamos o somatório nos termos pares, onde trocamos n por ( 2 n ) e nos termos ímpares, onde trocamos n por ( 2 n - 1 ) .)

Prontinho galera! Terminamossss!!

Curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

f x   ~ L 3 4 + ∑ n = 1 ∞ 6 L 3 2 n 2 π 2 ⋅ cos ⁡ 2 n π x L - 6 L 3 2 n - 1 2 π 2 ⋅ 1 - 4 2 n - 1 2 π 2 ⋅ c o s 2 n - 1 π x L

Exercícios de Livros Relacionados

Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π