Obtenha a série de Fourier em cossenos de cada uma das funções a seguir. Você pode utilizar a applet da Sagemath disponibilizada no Moodle. Em cada caso, esboce seu gráfico no intervalo - 3 L ,   3 L .

g )   f x =   s e n π x L ,     0 ≤ x ≤ L 2 ; 0 ,                                                   L 2 < x ≤ L  

Passo 1

Fala pessoal, tudo tranquilo por aí?

Nessa questão recebemos uma função f ( x ) definida por partes da seguinte forma:

f x =   c o s π x L ,     0 ≤ x ≤ L 2 ; 0 ,                                                   L 2 < x ≤ L  

A partir disso, precisamos determinar a série de Fourier de f apenas em cossenos.

Pra escrevermos a série de Fourier de uma função apenas em cossenos, é necessário que a função seja par e periódica.

Porém, nossa f só está definida no intervalo [ 0 , L ] , e por isso não é nem par nem periódica.

Logo, a primeira coisa que vamos fazer é expandir a definição de f de modo que ela se torne par e periódica.

Depois disso, podemos seguir a ideia normal de série de Fourier de funções pares. Temos que:

f x   ~ a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n c o s n π x L

onde:

a n = 2 L ∫ 0 L f x c o s n π x L d x   ,         n = 0,1 , 2,3 , …

Tranquilo até aqui? Vem comigo que vai ficar ainda mais claro

Passo 2

Bom, pra começar, vamos expandir a definição de f .

No intervalo 0 , L 2 , nossa f ( x ) é dada por:

f x = c o s π x L

E, a função cosseno é par. Logo, já podemos definir f no intervalo - L 2 , 0 , como:

f x = c o s π x L

Massa! Já no intervalo L 2 ,   L , temos que:

f x = 0

Logo, para a função ser par, podemos definir f no intervalo - L ,   - L 2 , como:

f x = 0

Assim, temos:

f x =   0 ,     - L ≤ x < - L / 2 c o s π x L ,     - L 2 ≤ x ≤ L 2 0 ,     L 2 < x ≤ L

E, para que f seja periódica, podemos dizer que a partir dessa definição em [ - L , L ] , f é periódica de período 2 L .

Isso é um truque bem legal e importante de ter em mente no contexto das séries de Fourier. Não precisamos definir f pra cada intervalozinho, pois pra ela ser periódica essa definição fica mudando.)

Massa!

Agora vamos desenhar o gráfico dessa função no intervalo [ - 3 L ,   3 L ] :

(Para fins gráficos, consideramos L = 1 sem perda de generalidade).

Show de bola gente! Matamos a primeira parte 😊

Passo 3

Agora precisamos calcular efetivamente a série de Fourier de f . Para fazer isso precisamos calcular os coeficientes a n :

a n = 2 L ∫ 0 L f ( x ) c o s n π x L d x

Como f é definida por partes, podemos separar essa integral nos respectivos intervalos de f :

a n = 2 L ⋅ ∫ 0 L 2 cos ⁡ π x L cos ⁡ n π x L d x + ∫ L 2 L 0 ⋅ cos ⁡ n π x L d x

= 2 L ⋅ ∫ 0 L 2 cos ⁡ π x L cos ⁡ n π x L d x

Quando n = 0 , se fizermos a integral ele irá aparecer no denominador, o que nos dará um absurdo matemático. Por isso, vamos calcular ele separadamente.

a 0 = 2 L ⋅ ∫ 0 L 2 cos ⁡ π x L d x

= 2 L ⋅ L π ⋅ s e n π x L 0 L 2

∴ a 0 = 2 π

Agora vamos calcular para qualquer n ∈ N - { 0 } .

Precisamos resolver a integral:

∫ 0 L / 2 cos ⁡ π x L c o s n π x L d x

Para isso, podemos utilizar a seguinte fórmula da transformação de produto em soma:

cos ⁡ p + cos ⁡ q 2 = cos ⁡ p + q 2 ⋅ cos ⁡ p - q 2

Daí, vamos ter:

cos ⁡ p + cos ⁡ q 2 = cos ⁡ π x L c o s n π x L

Então:

p + q 2 = n π x L p - q 2 = π x L

Então:

p = n + 1 π x L

q = n - 1 π x L

Assim, podemos reescrever a integral como:

a n = 2 L ∫ 0 L / 2 cos ⁡ π x L c o s n π x L d x

= 1 L ⋅ ∫ 0 L / 2 cos ⁡ n + 1 π x L d x + ∫ 0 L / 2 cos ⁡ n - 1 π x L d x

Beleza! Precisamos resolver essas integrais!

Passo 4

Temos:

a n =   1 L ⋅ ∫ 0 L / 2 cos ⁡ n + 1 π x L d x + ∫ 0 L / 2 cos ⁡ n - 1 π x L d x

Resolvendo a integral:

= 1 L ⋅ L n + 1 π ⋅ s e n n + 1 π x L 0 L / 2 + L n - 1 π s e n n - 1 π x L 0 L / 2  

Substituindo os intervalos de integração:

a n = 1 π ⋅ s e n n + 1 π 2 n + 1 + s e n n - 1 π 2 n - 1

Daí, podemos usar que:

s e n n π 2 + π 2 = s e n n π 2 ⋅ cos ⁡ π 2 + s e n π 2 ⋅ cos ⁡ n π 2

= cos ⁡ n π 2

Analogamente:

s e n n π 2 - π 2 = s e n n π 2 cos ⁡ π 2 - s e n π 2 ⋅ cos ⁡ n π 2

=   - cos ⁡ n π 2

Juntando esses resultados em a n , temos que:

a n = cos ⁡ n π 2 π ⋅ 1 n + 1 - 1 n - 1

= cos ⁡ n π 2 π ⋅ - 2 n

Portanto, concluímos que:

a n =   - 2 cos ⁡ n π 2 n π

Daí:

- Se n é par:

a n =   - 2 cos ⁡ n π 2 n π

- Se n   é ímpar:

a n = 0

Podemos então escrever a série de Fourier de f :

f x   ~ 1 π + ∑ n = 1 ∞ - 2 cos ⁡ ( 2 n ) π 2 ( 2 n ) π ⋅ cos ⁡ 2 n π x L

(trocamos n por 2 n pra pegar apenas os termos pares, já que os ímpares são nulos).

Ufaaaaa! Matamos essa questão gente!!!

E aí, vocês curtiram? Responde Aí!

Resposta

f x   ~ 1 π + ∑ n = 1 ∞ - 2 cos ⁡ ( 2 n ) π 2 ( 2 n ) π ⋅ cos ⁡ 2 n π x L

Exercícios de Livros Relacionados

Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π