Obtenha a série de Fourier em senos de cada uma das funções a seguir. Você pode utilizar a applet da Sagemath disponibilizada no Moodle. Em cada caso, esboce seu gráfico no intervalo - 3 L ,   3 L .

c )   f x = x 2   ,   0 ≤ x ≤ L

Passo 1

Faaaala galerinha do bem, tudo na paz com vocês?

Nessa questão recebemos a função:

f x = x 2 ,     0 ≤ x ≤ L

E, precisamos calcular a série de Fourier de f apenas em senos.

Sempre que queremos obter uma série de Fourier apenas em senos, precisamos que a função esteja definida como uma função ímpar e periódica.

O problema é que, a função f x = x 2 , quando definida nos reais, não é nem ímpar nem periódica...

Nessas situações precisamos expandir o intervalo de definição de f (observa que nesse problema ela foi definida apenas em [ 0 , L ] ) de modo a torná-la ímpar e periódica.

Depois que fizermos isso, podemos usar a teoria normal da série de Fourier pra funções ímpares e periódicas pra encontrar a sua expansão:

f x   ~   ∑ n = 1 ∞ b n s e n n π x L

onde:

b n = 2 L ∫ 0 L f x s e n n π x L d x   ,         n = 1,2 , 3 , …

Tranquilo até aqui? Vem comigo que vai ficar ainda mais claro!!

Passo 2

Bom, primeiramente precisamos pensar numa definição de f ( x ) que a torne ímpar e periódica.

Podemos escrever:

f x =   - x 2 ,               - L < x < 0 0   ,         x = k L ,   k ∈   Z x 2 ,                       0 < x < L    

onde f é periódica de período 2 L .

Isso significa que pra desenhar a curva de f à esquerda e à direita de - L e L , respectivamente, basta “colar” a mesa curva que aparece no intervalo [ - L , L ] . Assim, conseguimos de um jeito simples expandir a definição da nossa função pra todos os reais, e ainda forçando ela a ser ímpar e periódica. Sacaram?

Vamos então desenhar o seu gráfico no intervalo [ - 3 L , 3 L ] :

(pra fins de gráfico consideramos L = 1 , sem perda de generalidade, beleza?).

Perfeito! A gente pode até dá uma conferida que nossa função realmente é ímpar e periódica, não é mesmo 😊

Passo 3

Vamos agora calcular os coeficientes b n da nossa série de Fourier. Temos que:

b n = 2 L ∫ 0 L x 2 s e n n π x L d x   ,         n = 1,2 , 3 , …

Para resolver essa integral precisamos usar o método de integração por partes. Vamo dar uma revisada:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

No caso da nossa integral, vamos chamar:

u = x 2 d v =   s e n n π x L

Assim:

∫ 0 L x 2 s e n n π x L d x = x 2 L n π ⋅ - cos ⁡ n π x L 0 L + 2 L n π ⋅ ∫ 0 L x ⋅ cos ⁡ n π x L d x

O problema é que essa segunda integral também precisa ser calculada usando o método de integração por partes, daí fazendo:

u = x d v = cos ⁡ n π x L

Temos:

∫ 0 L x ⋅ cos ⁡ n π x L d x = x L n π ⋅ s e n n π x L 0 L - L n π ⋅ ∫ 0 L s e n n π x L d x

= L 2 n π ⋅ s e n n π - L n π ⋅ L n π ⋅ - cos ⁡ n π x L 0 L

Como n ∈ N , temos que:

s e n n π = 0

Assim:

∫ 0 L x ⋅ cos ⁡ n π x L d x = 0 + L 2 n 2 π 2 ⋅ c o s ⁡ ( n π ) - L 2 n 2 π 2

Beleza, substituindo isso na nossa equação principal do cálculo da integral, temos:

∫ 0 L x 2 s e n n π x L d x = x 2 L n π ⋅ - cos ⁡ n π x L 0 L + 2 L n π ⋅ L 2 n 2 π 2 cos ⁡ n π - 1

=   - L 3 n π ⋅ cos ⁡ n π + 2 L n π ⋅ L 2 n 2 π 2 cos ⁡ n π - 1

Como:

cos ⁡ n π = 1 ⇔ n   p a r cos ⁡ n π = - 1 ⇔ n   í m p a r

Então,

- Se n   par:

cos ⁡ n π - 1 = 0

∴ ∫ 0 L x 2 s e n n π x L d x = - L 3 n π

- Se n ímpar:

cos ⁡ n π - 1 = - 2

∴ ∫ 0 L x 2 s e n n π x L d x = L 3 n π 1 - 4 n 2 π 2

Perfeito!

Logo, para o coeficiente b n , vamos ter:

- n par:

b n =   - 2 L 2 n π

- n ímpar:

b n = 2 L 2 n π 1 - 4 n 2 π 2  

Logo, podemos escrever a série de Fourier de f ( x ) como sendo:

f x ~ ∑ n = 1 ∞ - 2 L 2 2 n π s e n 2 n π x L + ∑ n = 1 ∞ 2 L 2 2 n - 1 π 1 - 4 2 n - 1 2 π 2 s e n 2 n - 1 π x L

(separamos em dois somatórios: um para n par (e chamamos n de 2 n ), e outro para n ímpar (e chamamos n de ( 2 n - 1 ) ).

Pronto, é só esse monstrinho daí 😉

Espero que vocês tenham entendido bem direitinho, até a próxima 😊

Resposta

f x ~ ∑ n = 1 ∞ - 2 L 2 2 n π s e n 2 n π x L + ∑ n = 1 ∞ 2 L 2 2 n - 1 π 1 - 4 2 n - 1 2 π 2 s e n 2 n - 1 π x L

Exercícios de Livros Relacionados

Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π