Exercícios Resolvidos de Obtenção da Série de Fourier

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Enunciado

Seja a função

  f x = x       ,   x   ε   [ - π , π ]

Na série de Fourier chega-se a a n = 1 π ∫ - π π x cos ⁡ n x d x

Podemos afirmar que o valor de a n é:

( ) 2 n sen ⁡ ( n π )

( ) n π

( ) n π

( )   0

( ) n   sen ⁡ ( n π )

Passo 1

Fala aí! A questão quer que a gente calcule o valor de a n a partir da seguinte expressão:

a n = 1 π ∫ - π π x cos ⁡ n x d x

Bom, nesse caso, vamos precisar fazer a integração por partes. Vamos chamar então:

x = u → d x = d u

cos ⁡ ( n x ) = d v → v = 1 n sen ⁡ ( n x )

∫ - π π x cos ⁡ ( n x ) d x = ∫ - π π 1 n x sen ⁡ ( n x ) d x - ∫ - π π 1 n sen ⁡ ( n x ) d x

Só que a integral ∫ - π π 1 n x sen ⁡ ( n x ) d x também tem que ser feita por partes. Então, seguindo o mesmo procedimento, a gente chega a:

∫ - π π x sen ⁡ ( n x ) d x = ∫ - π π - 1 n x c o s ( n x ) d x + ∫ - π π 1 n cos ⁡ ( n x ) d x

Substituindo esse resultado na primeira integral, a gente chega que:

∫ - π π x cos ⁡ n x d x = x n sen ⁡ n x + 1 n 2 cos ⁡ n x - π π

Agora, a gente pode substituir os liites de integração:

∫ - π π x cos ⁡ n x d x = π n sen ⁡ n π + 1 n 2 cos ⁡ n π - - π n sen ⁡ - π n - 1 n 2 cos ⁡ - π n

Bom, sen ⁡ ( n π ) e s e n ⁡ ( - n π ) são nulos (valem zero), então nossa expressão vai ficar:

∫ - π π x cos ⁡ n x d x = 1 n 2 cos ⁡ n π - 1 n 2 cos ⁡ - π n

Das propriedades trigonométricas, a gente também sabe que:

cos ⁡ ( n π ) = cos ⁡ ( - n π )

Com isso, a gente chega que:

∫ - π π x cos ⁡ n x d x = 0

Então, o nosso a n que a gente quer é:

a n = 1 π ∫ - π π x cos ⁡ n x d x = 0

a n = 0

Siiim, eu entendo a decepção depois de tanta conta descobrir que vai dar zero! Mas é isso aí mesmo, galera. O mais importante é que temos essa opção na resposta.

Resposta

a n = 0

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Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n