Suponha que definimos a transformada de Fourier pela expressão

∫ - ∞ ∞ f ( x ) e - i ω x d x .

Qual será neste caso a fórmula para a transformada de Fourier inversa?

Passo 1

Oiiie, tudo certinho?

O enunciado nos apresenta a definição de uma transformada de fourier como

F ( ω ) = ∫ - ∞ ∞ f ( x ) e - i ω x d x

e pede para encontrarmos a sua inversa através desta definição! Então, vamos procurar uma transformação que aplicada sobre F ( ω ) e resulte em f ( x ) ! Saca só!

Passo 2

Vamos primeiro fazer a seguinte integração

∫ - ∞ ∞ F ( ω ) e i ω x ' d ω = ∫ - ∞ ∞ [ ∫ - ∞ ∞ f ( x ) e - i ω x d x ] e i ω x ' d ω

nós podemos livremente mudar a ordem da integração para obter

∫ - ∞ ∞ F ( ω ) e i ω x ' d ω = ∫ - ∞ ∞ [ ∫ - ∞ ∞ f ( x ) e - i ω x e i ω x ' d ω ] e i ω x ' d x

em que podemos juntar as integrais como

∫ - ∞ ∞ F ( ω ) e i ω x ' d ω = ∫ - ∞ ∞ f ( x ) [ ∫ - ∞ ∞ e - i ω ( x - x ' ) d ω ] d x

A integral interna é a definição da delta de dirac dada por

∫ - ∞ ∞ e - i ω ( x - x ' ) d ω = δ ( x - x ' )

Portanto, isso resulta em

∫ - ∞ ∞ F ( ω ) e i ω x ' d ω = ∫ - ∞ ∞ f ( x ) δ ( x - x ' ) d x

Lembra como resolver esse lado direito? Vem comigo!

Passo 3

Tendo em vista as propriedades da delta de dirac, podemos escrever que

∫ - ∞ ∞ f ( x ) δ ( x - x ' ) d x = f ( x ' )

e, finalmente, temos que

f ( x ' ) = ∫ - ∞ ∞ F ( ω ) e i ω x ' d ω

como temos que x ' é só uma variável muda, podemos escrever simplesmente

f ( x ) = ∫ - ∞ ∞ F ( ω ) e i ω x d ω

que é a nossa transformada inversa! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

f ( x ) = ∫ - ∞ ∞ F ( ω ) e i ω x d ω

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Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π