Obtenha a série de Fourier em cossenos de cada uma das funções a seguir. Você pode utilizar a applet da Sagemath disponibilizada no Moodle. Em cada caso, esboce seu gráfico no intervalo - 3 L ,   3 L .

f )   f x =   1 ,             0 ≤ x ≤ h ; 0   ,             h ≤ x ≤ π .     com h ∈ ( 0 , π ) .

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo beleza?

Nessa questão recebemos a função:

f x =   1 ,             0 ≤ x ≤ h ; 0   ,             h ≤ x ≤ π .    

E, precisamos determinar a sua série de Fourier apenas em cossenos.

Sempre que queremos obter uma série de Fourier apenas em cossenos, precisamos que a função esteja definida como uma função par e periódica.

Nesse caso temos uma função definida por partes, mas em cada uma dessas partes f assume um valor constante. E, toda função constante é par, pois sempre vale que:

f x = f - x = k

Assim, se f tivesse definida nos reais ela já seria par, porém está apenas definida em [ 0 , π ] . Dessa forma, precisamos ampliar o domínio de f de modo que ela seja par e periódica, beleza?

Depois disso, podemos seguir a ideia normal de série de Fourier de funções pares. Temos que:

f x   ~ a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n c o s n π x L

onde:

a n = 2 L ∫ 0 L f x c o s n π x L d x   ,         n = 0,1 , 2,3 , …

Tranquilo até aqui? Vem comigo que vai ficar ainda mais claro.

Passo 2

Bom, pra começar vamos ajustar a definição de f para ela ser par e periódica.

Como vimos, se estendermos o intervalo de f nossa função já é par. Pra ela ser periódica podemos dizer que a curva característica dessa função de 0 a π , se repete com período π .

Ou seja:

f x =   1 ,             0 ≤ x ≤ h ; 0   ,             h ≤ x ≤ π .    

com f periódica de período π .

Assim, como no contexto da série de Fourier, temos que:

T = 2 L

Já que o período T aqui vale π , tem:

L = π 2

Portanto, temos que desenhar o gráfico dessa função de [ - 3 π 2 , 3 π 2 ] .

(para fins de gráfico consideramos h = 1 ).

Show de bola! A primeira parte já foi 😊

Passo 3

Agora precisamos calcular efetivamente a nossa série de Fourier de f ( x ) . Para isso, vamos calcular os coeficientes a n :

a n = 2 L ∫ 0 L f x c o s n π x L d x

Como f é definida por partes, vamos separar essas integrais em cada intervalo de definição de f em 0 a π 2 .

a n = 2 π 2 ⋅ ∫ 0 h 1 ⋅ cos ⁡ n π x π 2 d x + ∫ h π 2 0 ⋅ cos ⁡ n π x π 2 d x

a n = 4 π ⋅ ∫ 0 h cos ⁡ 2 n x d x

Galera, em geral, aparece um problema quando colocamos n = 0 , pois durante a integração acaba aparecendo um n no denominador. Então, vamos começar calculando a 0 separadamente, e depois calculamos a n para um n   qualquer ( ∈ N ).

a 0 = 4 π ⋅ ��� 0 h 1 ⋅ c o s ⁡ ( 0 ) d x

∴ a 0 = 4 h π

Já para os outros n ∈ N - { 0 } ...

a n = 4 π ⋅ ∫ 0 h cos ⁡ 2 n x d x

Resolvendo essa integral, vamos ter:

∫ 0 h cos ⁡ 2 n x d x = 1 2 n ⋅ s e n 2 n x 0 h

= s e n 2 n h 2 n

Logo:

a n = 2 s e n 2 n h n π ,         n = 1,2 , 3 , …

(como h pode ser qualquer número no intervalo [ 0 , π ] não podemos afirmar nada sobre o seno de 2 n h ).

Daí, podemos escrever a série de Fourier de f como:

f x   ~ 2 h π + ∑ n = 1 ∞ 2 s e n 2 n h n π ⋅ c o s ⁡ ( 2 n x )  

Prontinho!! Terminamos 😊

Obrigado pela atenção pessoal!!

Resposta

f x   ~ 2 h π + ∑ n = 1 ∞ 2 s e n 2 n h n π ⋅ c o s ⁡ ( 2 n x )

Exercícios de Livros Relacionados

Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π