Determine a série de Fourier das funções a seguir.

( c )   f ( x ) = | x | , estendida de forma 2 L -periódica;

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Precisamos calcular a série de Fourier da seguinte função

f ( x ) = | x | , estendida de forma 2 L -periódica;

para isso, iremos calcular os coeficientes de Fourier

a 0 = 1 L ∫ - L L f ( x ) d x

a n = 1 L ∫ - L L f ( x ) c o s ( n π x L ) d x

b n = 1 L ∫ - L L f ( x ) s e n ( n π x L ) d x

e, substituí-los na expressão

f ( x ) ≈ a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n c o s ( n π x L ) + b n s e n ( n π x L )

Bora lá!

Passo 2

Temos a seguinte função

f ( x ) = | x |

essa função é definida tal que tem paridade par, portanto, o coeficiente do seno se anula, precisamos apenas calcular os outros dois! Temos para o primeiro termo

a 0 = 1 L ∫ - L L f ( x ) d x = 1 L ∫ - L L | x | d x

Lembrando que a função módulo é definida tal que

| x | = - x se x < 0 e | x | = x se x > 0

podemos escrever que

a 0 = 1 L ∫ - L L | x | d x = - 1 L ∫ - L 0 x d x + 1 L ∫ 0 L x d x

usando que

∫ a b x d x = 1 2 x 2 | a b = 1 2 [ b 2 - a 2 ]

temos

a 0 = - 1 L [ 0 2 - ( - L ) 2 ] + 1 L [ L 2 - 0 2 ] = 2 L

Vamos calcular agora o coeficiente do cosseno!

Passo 3

Temos que calcular

a n = 1 L ∫ - L L f ( x ) c o s ( n π x L ) d x = 1 L ∫ - L L | x | c o s ( n π x L ) d x

usando novamente a definição de módulo, temos que

a n = - 1 L ∫ - L 0 x c o s ( n π x L ) d x + 1 L ∫ 0 L x   c o s ( n π x L ) d x

para ambos os casos precisamos realizar integrações por partes, temos que

u = x e d u = d x

assim como

d v = c o s ( n π x L ) e v = L n π s e n ( n π x L )

a integral se torna

∫ x c o s ( n π x L ) d x = L n π x   s e n ( n π x L ) - L n π ∫ s e n ( n π x L ) d x

A segunda integral pode ser identificada como

∫ s e n ( n π x L ) d x = - L n π c o s ( n π x L )

obtemos então que

∫ x c o s ( n π x L ) d x = L n π x   s e n ( n π x L ) + L 2 n 2 π 2 c o s ( n π x L ) + C

Vamos avaliar os limites específicos para cada uma de nossas integrais!

Passo 4

Temos que calcular

a n = - 1 L ∫ - L 0 x c o s ( n π x L ) d x + 1 L ∫ 0 L x   c o s ( n π x L ) d x

Portanto, avaliando os limites, temos que

- 1 L ∫ - L 0 x c o s ( n π x L ) d x = - 1 n π x s e n ( n π x L ) | - L 0 - L n 2 π 2 c o s ( n π x L ) | - L 0 = 0 - L n 2 π 2 [ 1 - c o s ( n π ) ]

em que usei a paridade da função cosseno. Simplificando, temos que

- 1 L ∫ - L 0 x c o s ( n π x L ) d x = L n 2 π 2 [ c o s ( n π ) - 1 ]

Da mesma forma, temos que

1 L ∫ 0 L x   c o s ( n π x L ) d x = L n 2 π 2 [ c o s ( n π ) - 1 ]

Portanto, temos que

a n = 2 L n 2 π 2 [ c o s ( n π ) - 1 ]

Vamos escrever a nossa série agora!

Passo 5

Note que, para n = 2 m - 1 , ou seja, ímpar, temos que c o s [ ( 2 m - 1 ) π ] = - 1 e para n = 2 m , ou seja, par, temos que c o s ( 2 m π ) = 1 . Desta forma, temos que

a 2 m - 1 = - 2 L ( 2 m - 1 ) 2 π 2

e, a nossa s��rie de Fourier se torna

f ( x ) ≈ L - 2 L π 2 ∑ m = 1 ∞ 1 ( 2 m - 1 ) 2 c o s [ ( 2 m - 1 ) π x L ]

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

f ( x ) ≈ L - 2 L π 2 ∑ m = 1 ∞ 1 ( 2 m - 1 ) 2 c o s [ ( 2 m - 1 ) π x L ]

Exercícios de Livros Relacionados

Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π