Mostre que a transformada de Fourier g ( ω ) de f ( x ) será uma função real se, e somente se, f for uma função par.

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado quer que demonstremos a seguinte propriedade

“Se uma função f ( x ) for par, sua transformada de Fourier g ( ω ) será real. Se a função for ímpar, a transformada será imaginária.”

Para demonstrar isso vamos precisar da definição de transformada de Laplace como

g ( ω ) = ℱ { f ( x ) } = ∫ - ∞ ∞ f ( x ) e - i ω x d x

lembrar que as relações de paridade são tais que

Função par: f ( x ) = f ( - x )

Função ímpar: f ( x ) = - f ( - x )

e, por último, lembrar que uma função real pode ser identificada pela propriedade

g * ( ω ) = g ( ω )

ou seja, ela é igual a sua própria conjugada (quando trocamos o sinal da parte imaginária). Vamos partir daí e tentar demonstrar! Vem comigo!

Passo 2

Vamos primeiro calcular a conjugada da transformada de Fourier, ou seja, mudar o sinal da parte imaginária em nossa definição, temos que

g * ( ω ) = ∫ - ∞ ∞ f ( x ) e i ω x d x

aqui estou tomando que f : ℝ → ℝ . Agora, se considerarmos que f ( x ) é par, temos que, mudar x → - x é indiferente para a função, mas ela influencia a transformada, note que

g * ( ω ) = ∫ - ∞ ∞ f ( - x ) e - i ω x d x = ∫ - ∞ ∞ f ( x ) e - i ω x d x

só que o lado direito desta expressão é a definição da própria transformada de Fourier, portanto, se uma função tem paridade “par”, a transformada é real

g * ( ω ) = g ( ω )

Mas, e para o que estamos interessados? E, se a função for ímpar? Saca só!

Passo 3

Escrevendo novamente a conjugada da transformada de Fourier, temos que

g * ( ω ) = ∫ - ∞ ∞ f ( x ) e i ω x d x

fazendo a mudança x → - x , temos que

g * ( ω ) = ∫ - ∞ ∞ f ( - x ) e - i ω x d x = - ∫ - ∞ ∞ f ( x ) e - i ω x d x

ou seja, temos que a conjugada da transformada, se a função é ímpar, é identificada como o negativo da própria transformada, de maneira que

g * ( ω ) = - g ( ω )

g ( ω ) deve ser puramente imaginária! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

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