Obtenha a série de Fourier em senos de cada uma das funções a seguir. Você pode utilizar a applet da Sagemath disponibilizada no Moodle. Em cada caso, esboce seu gráfico no intervalo - 3 L ,   3 L .

g )   f x =   s e n π x L ,     0 ≤ x ≤ L 2 ; 0 ,                                                   L 2 < x ≤ L  

Passo 1

Fala pessoal, tudo tranquilo por aí?

Nessa questão recebemos uma função f ( x ) definida por partes da seguinte forma:

f x =   s e n π x L ,     0 ≤ x ≤ L 2 ; 0 ,                                                   L 2 < x ≤ L  

A partir disso, precisamos determinar a série de Fourier de f apenas em senos.

Pra escrevermos a série de Fourier de uma função apenas em senos, é necessário que a função seja ímpar e periódica.

Porém, nossa f só está definida no intervalo [ 0 , L ] , e por isso não é nem ímpar nem periódica.

Logo, a primeira coisa que vamos fazer é expandir a definição de f de modo que ela se torne ímpar e periódica.

Depois que fizermos isso, podemos usar a teoria normal da série de Fourier pra funções ímpares e periódicas pra encontrar a sua expansão:

f x   ~   ∑ n = 1 ∞ b n s e n n π x L

onde:

b n = 2 L ∫ 0 L f x s e n n π x L d x   ,         n = 1,2 , 3 , …

Tranquilo até aqui? Vem comigo que vai ficar ainda mais claro!!

Passo 2

Bom, pra começar, vamos expandir a definição de f .

No intervalo 0 , L 2 , nossa f ( x ) é dada por:

f x = s e n π x L

E, a função seno é ímpar. Logo, já podemos definir f no intervalo - L 2 , 0 , como:

f x = s e n π x L

Massa! Já no intervalo L 2 ,   L , temos que:

f x = 0

Logo, para a função ser ímpar, podemos definir f no intervalo - L ,   - L 2 , como:

f x = 0

Assim, temos:

f x =   0 ,     - L ≤ x < - L / 2 s e n π x L ,     - L 2 ≤ x ≤ L 2 0 ,     L 2 < x ≤ L

E, para que f seja periódica, podemos dizer que a partir dessa definição em [ - L , L ] , f é periódica de período 2 L .

(Isso é um truque bem legal e importante de ter em mente no contexto das séries de Fourier. Não precisamos definir f pra cada intervalozinho, pois pra ela ser periódica essa definição fica mudando.)

Massa!

Agora vamos desenhar o gráfico dessa função no intervalo [ - 3 L ,   3 L ] :

(consideramos L = 1 sem perda de generalização).

Show de bola! Vamos pra série de Fourier efetivamente!!

Passo 3

Agora vamos determinar efetivamente a nossa série de Fourier. Para isso, precisamos determinar b n :

b n = 2 L ∫ 0 L f x s e n n π x L d x

Como nossa f é definida por partes, vamos abrir a integral acima nos dois intervalos considerados:

b n = 2 L ∫ 0 L 2 s e n π x L s e n n π x L d x + ∫ L 2 L 0 ⋅ s e n n π x L d x  

∴ b n = 2 L ⋅ ∫ 0 L 2 s e n π x L s e n n π x L d x

Perfeito! Então precisamos resolver a integral acima.

Para isso podemos usar uma relação trigonométrica muito importante, que é a da transformação de produto em soma:

cos ⁡ p - cos ⁡ q = 2 ⋅ s e n p + q 2 ⋅ s e n p - q 2

Aplicando no nosso problema, temos que:

cos ⁡ p - cos ⁡ q 2 = s e n n π x L ⋅ s e n π x L

Daí, temos:

n π x L = p + q 2 π x L = p - q 2

Logo:

p = n + 1 π x L

q = n - 1 π x L

Daí, substituindo na integral, vamos ter:

b n = 2 L ⋅ 1 2 ⋅ ∫ 0 L 2 cos ⁡ n + 1 π x L - cos ⁡ n - 1 π x L d x

= 1 L ⋅ ∫ 0 L 2 cos ⁡ n + 1 π x L d x - ∫ 0 L 2 cos ⁡ n - 1 π x L d x

Reduzimos ainda mais o nosso probleminha, agora precisamos calcular as duas integrais acima.

∫ 0 L 2 cos ⁡ n + 1 π x L d x = L n + 1 π ⋅ s e n n + 1 π x L 0 L 2

= L n + 1 π ⋅ s e n n + 1 π 2

Já para a outra integral:

∫ 0 L 2 cos ⁡ n - 1 π x L d x = L n - 1 π ⋅ s e n n - 1 π x L 0 L 2

= L n - 1 π ⋅ s e n n - 1 π 2

Juntando os dois resultados, vem que:

b n = 1 n + 1 π ⋅ s e n n + 1 π 2 - 1 n - 1 π ⋅ s e n n - 1 π 2

Usando que:

s e n n + 1 π 2 = s e n n π 2 ⋅ cos ⁡ π 2 + s e n π 2 ⋅ cos ⁡ n π

= c o s ⁡ ( n π )

Analogamente:

s e n n - 1 π 2 = s e n n π 2 ⋅ cos ⁡ π 2 - s e n π 2 ⋅ cos ⁡ n π

=   - c o s ⁡ ( n π )

Substituindo em b n :

b n = 1 n + 1 π ⋅ cos ⁡ n π + 1 n - 1 π ⋅ cos ⁡ n π

= cos ⁡ n π π ⋅ 1 n + 1 + 1 n - 1

Logo:

b n = 2 n n 2 - 1 ⋅ cos ⁡ n π π ,         n = 1,2 , 3 , …

Perfeito!

Se n for par, temos:

cos ⁡ n π = 1

Se n for ímpar, temos:

cos ⁡ n π = - 1

Logo, podemos escrever:

b n = 2 n n 2 - 1 ⋅ - 1 n π ,             n = 1,2 , 3 , …  

Muito bom!!

Passo 4

Agora que já calculamos b n , podemos finalmente escrever a série de Fourier de f :

f x   ~ ∑ n = 1 ∞ 2 n n 2 - 1 ⋅ - 1 n π ⋅ s e n n π x L

Prontinho pessoal! Matamos mais uma questão!

Vocês curtiram? Muito obrigado pela atenção de vocês 😊

Resposta

f x   ~ ∑ n = 1 ∞ 2 n n 2 - 1 ⋅ - 1 n π ⋅ s e n n π x L

Exercícios de Livros Relacionados

Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π