Exercícios Resolvidos de Obtenção da Série de Fourier

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Enunciado

Considere a função f   :   R   →   R periódica de período 2 , que no intervalo [ - 1,1 )   é definida por f ( x )   =   7 x 6 e seja S ( x ) a sua série de Fourier.

  1. Escreva como deve ser S ( x ) sem calcular coeficientes a n , n = 0,1 , 2,3 , … e b n , n = 1,2 , 3 , mas apenas escrevendo as integrais que dão seus valores.
  2. Calcule a 0 e a n , n = 0,1 , 2 …
  3. Calcule ∑ n = 1 ∞ b n .
  4. Calcule ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n b n .
  5. Determine os valores de x ∈ R para os quais f x = S ( x ) .

Passo 1

Vamos lembrar nossas fórmulas, fera!

f x = a 0 2 +   ∑ n = 1 ∞ a n s e n n π x L + b n   c o s ⁡ n π x L

a n = 1 L   ∫ - L L f x s e n n π x L d x     n = 0,1 , 2,3 …

b n = 1 L   ∫ - L L f x c o s n π x L d x     n = 1,2 , 3 …

a 0 =   1 L   ∫ - L L f x d x    

No nosso caso, L   = 1 !

Passo 2

Agora, vamos aplicar as condições do problema naquelas fórmulas para calcular os coeficientes.

a n = ∫ - 1 1 7 x 6   s e n n π x d x     n = 1,2 , 3 …

b n =   ∫ - 1 1 7 x 6 c o s n π x d x     n = 0,1 , 2,3 …

Passo 3

(b) Calcule a 0 e a n .

a 0 =   ∫ - 1 1 7 x 6 d x =   x 7 - 1 1 = 1 - - 1 = 2

Como f é par. Ou seja, f ( x ) = f ( - x ) .

a n = 0

Passo 4

(c) Calcule ∑ n = 0 ∞ b n

Lembrando as fórmulas do passo 1

f x = a 0 2 +   ∑ n = 1 ∞ a n s e n n π x L + b n   c o s ⁡ n π x L

Como   f é sempre contínua, pelo Teorema de Fourier, podemos dizer que vale, sendo   S a soma da série:

f x = S ( x )

Para zerar a n   e   c o s ⁡ n π x L   , usamos x = 0 . Vamos aplicar isso : f 0 = S 0 = 0

f 0 = 1 +   ∑ n = 1 ∞ b n = 0   ∴   ∑ n = 1 ∞ b n = - 1

Passo 5

(d) Calcule ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n b n

Agora, vamos usar o mesmo raciocínio . Mas para obter a série desejada, vamos fazer x = 1 !

f 1 = S 1 = 7

f 0 = 1 +   ∑ n = 1 ∞ a n s e n n π + b n c o s ⁡ n π = 1 + ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n b n = 7   ∴   ∑ n = 1 ∞ b n = 6

Passo 6

(e) Determine os valores de x ∈ R para os quais f x = S ( x ) .

Essa é uma pergunta teórica.. Só para saber se você está manjando mesmo.

Do Teorema de Fourier, como f é contínua do jeito que gostamos para todo x ∈ R , ficamos tranquilos que f x = S ( x ) para todo x . Beleza?!

Resposta

(a ) a n = ∫ - 1 1 7 x 6   s e n n π x d x     n = 1,2 , 3 …

b n =   ∫ - 1 1 7 x 6 c o s n π x d x     n = 0,1 , 2,3 …

(b) a n = 0   e   a 0 = 2

(c ) ∑ n = 1 ∞ b n = - 1

  1. ∑ n = 1 ∞ b n = 6
  2. x ∈ R

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