Exercícios Resolvidos de Obtenção da Série de Fourier

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Enunciado

Dê a fórmula (sem calcular as integrais resultantes) dos coeficientes b 1 , … , b n que minimizam a expressão:

∫ 0 π e x 3 - ∑ k = 1 n b k sen ⁡ k x 2 d x

Passo 1

b) Então, pensa comigo: pra minimizar aquela integral que ele quer, basta minimizar o cara ao quadrado. Esse aqui:

e x 3 - ∑ k = 1 n b k sen ⁡ k x

Repara que o período da integral é de 0 a π .

Isso nos dá uma ideia de que queremos uma extensão da função, na verdade, porque ela só está definida naquele intervalo que ele deu.

A gente pode pensar no seguinte: usamos Série de Fourier para aproximar funções, certo?

E se fizermos essa função que está subtraindo de e x 3 tender ao máximo, opa, então esse cara todo vai tender a ser cada vez menor! Estamos minimizando!

Então vamos calcular os coeficientes da Série de Fourier da extensão de e x 3 e eles serão b k !

O primeiro detalhe é: qual a extensão que vamos tomar, a par ou a ímpar? Como queremos que apareça só seno ali vamos pegar a extensão ímpar daquela função.

Mas cuidado, estamos fazendo isso porque o termo que tá dentro da integral está com cara da Série de Fourier. Mas perceba que os termos do somatório são em k .

Sempre que ele pedir para minimizar essa parada é só fazer desse jeito, show?

Passo 2

A primeira coisa a fazer é a extensão ímpar daquela função. Vamos chamar f ~ essa extensão ímpar.

Nesse caso só queremos os coeficientes da série de Fourier, então não vamos nos preocupar em achar o gráfico dessa extensão nem nada. Lembrando que quando pegamos uma extensão ímpar de f x vamos ter:

a n = 0

E:

b n = 2 L ∫ 0 L f x sen ⁡ n x d x

A grande questão é, qual o limite dessa parada? Repara que eu falei de uma extensão ímpar daquela função que está no intervalo de 0 a π . Então o nosso período vai ser 2 π , isso nos diz que:

2 L = 2 π

E:

L = π

Então:

b n = 2 π ∫ 0 π e x 3 sen ⁡ n x d x

Os nossos coeficientes em k vão ser:

b k = 2 π ∫ 0 π e x 3 sen ⁡ k x d x

Resposta

b k = 2 π ∫ 0 π e x 3 sen ⁡ k x d x

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Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N