Determine a transformada de Fourier das funções a seguir utilizando a tabela de transformadas vista em sala de aula.

( a )   e - ( x + 4 ) 2

Passo 1

Oiie, tudo bem com você?

Nesta questão temos que calcular a transformada de Fourier de uma função da forma

e - ( x + 4 ) 2

para isso devemos usar uma tabela de transformadas conhecidas! O enunciado indica uma tabela oficial nas notas de aula, mesmo sem ter acesso a esta tabela, existem resultados conhecidos que irei utilizar, belezinha? Nesta questão devemos partir do resultado

F ( ω ) = ∫ - ∞ ∞ e - a 2 x 2 e - i ω x d x = 1 a e - ω 2 2 a ,   a > 0         ( 1 )

Vamos tentar usar esse resultado! Saca só!

Passo 2

Se aplicarmos a definição de uma transformada de Fourier com a nossa função, temos que

F ( ω ) = ∫ - ∞ ∞ e - ( x + 4 ) 2 e - i ω x d x

vamos fazer uma mudança de variáveis da forma

x ' = x + 4 e d x ' = d x

temos que

F ( ω ) = ∫ - ∞ ∞ e - x ' 2 e - i ω ( x ' - 4 ) d x ' = e 4 i ω ∫ - ∞ ∞ e - i x ' 2 e - i ω x ' d x '

Note que agora podemos comparar com a equação ( 1 ) , a integral é a mesma com a = 2 , portanto, temos que a nossa transformada é dada por

F ( ω ) = e 4 i ω ∫ - ∞ ∞ e - i x ' 2 e - i ω x ' d x ' = 1 2 e - ω 2 4 e 4 i ω

Essa alternativa foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

F ( ω ) = 1 2 e - ω 2 4 e 4 i ω

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Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π