Para cada uma das funções abaixo, definidas no intervalo [ - π , π ] , obtenha sua série de Fourier e esboce seu gráfico no intervalo [ - 3 π , 3 π ] .

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Precisamos calcular a série de Fourier da seguinte função

para isso, iremos calcular os coeficientes de Fourier

a 0 = 1 L ∫ - L L f ( x ) d x

a n = 1 L ∫ - L L f ( x ) c o s ( n π x L ) d x

b n = 1 L ∫ - L L f ( x ) s e n ( n π x L ) d x

e, substituí-los na expressão

f ( x ) ≈ a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n c o s ( n π x L ) + b n s e n ( n π x L )

Por último precisamos fazer o plot do gráfico desta série! Vamos começar calculando os coeficientes não-nulos! Vem comigo!

Passo 2

Temos a seguinte função

essa função é simplesmente 1 no intervalo [ 0 , π ] , e - 1 para [ - π , 0 ] . Portanto, essa é uma função de paridade ímpar de forma que só precisamos calcular os coeficientes do seno, dados por

b n = 1 L ∫ - L L f ( x ) s e n ( n π x L ) d x = 1 π ∫ - π 0 ( - 1 ) s e n ( n x ) d x + 1 π ∫ 0 π ( 1 ) s e n ( n x ) d x

as integrais podem ser obtidas diretamente como

∫ s e n ( n x ) d x = - 1 n [ c o s ( n x ) ] + C

Avaliando os limites, temos que

∫ - π 0 ( - 1 ) s e n ( n x ) d x = 1 n [ c o s ( 0 ) - c o s ( - n π ) ] = 1 n [ 1 - c o s ( n π ) ]

e, a segunda se torna

∫ 0 π ( 1 ) s e n ( n x ) d x = - 1 n [ c o s ( n π ) - 1 ] = 1 n [ 1 - c o s ( n π ) ]

e, o nosso coeficiente não nulo é simplesmente

b n = 2 n π [ 1 - c o s ( n π ) ]

Vamos escrever a série e plotar o seu gráfico! Saca só!

Passo 3

Temos que para n = 2 m , números pares, c o s ( n π ) = 1 , portanto b n = 0 . Também temos que se n = 2 m - 1 , números ímpares, c o s [ ( 2 m - 1 ) π ] = - 1 , e temos simplesmente

b 2 m - 1 = - 4 ( 2 m - 1 ) π

Nossa série pode ser escrita como

f ( x ) ≈ - 4 π ∑ m = 1 ∞ 1 ( 2 m - 1 ) s e n [ ( 2 m - 1 ) π x ]

o gráfico pode ser obtido como

O comportamento se repete por toda a extensão do intervalo pedido! A questão foi isso, te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

f ( x ) ≈ - 4 π ∑ m = 1 ∞ 1 ( 2 m - 1 ) s e n [ ( 2 m - 1 ) π x ]

Exercícios de Livros Relacionados

Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π