Obtenha a série de Fourier em senos de cada uma das funções a seguir. Você pode utilizar a applet da Sagemath disponibilizada no Moodle. Em cada caso, esboce seu gráfico no intervalo - 3 L ,   3 L .

f )   f x =   x ,             0 ≤ x ≤ L 2 ; L - x   ,             L 2 ≤ x ≤ L .    

Passo 1

Oláaa gente bonita do Responde Aí, tudo na paz com vocês?

Nessa questão recebemos a seguinte função definida por partes:

f x =   x ,             0 ≤ x ≤ L 2 ; L - x   ,             L 2 ≤ x ≤ L .    

E, precisamos determinar a série de Fourier de f   apenas em senos.

Pra escrever uma série de Fourier apenas em senos, precisamos que a função seja ímpar e periódica. O problema é que a função dada não é nem ímpar nem periódica no intervalo em que foi definida. Lembra que pra uma função ser ímpar ela precisa obedecer:

f x =   - f ( - x )

E, isso não é obedecido para f .

Nessas situações precisamos expandir o intervalo de definição de f (observa que nesse problema ela foi definida apenas em [ 0 , L ] ) de modo a torná-la ímpar e periódica.

Depois que fizermos isso, podemos usar a teoria normal da série de Fourier pra funções ímpares e periódicas pra encontrar a sua expansão:

f x   ~   ∑ n = 1 ∞ b n s e n n π x L

onde:

b n = 2 L ∫ 0 L f x s e n n π x L d x   ,         n = 1,2 , 3 , …

Tranquilo até aqui? Vem comigo que vai ficar ainda mais claro!!

Passo 2

Bom, pra começar precisamos definir f de modo que ela seja ímpar e periódica. Então, vamos estender a definição de f ao intervalo [ - L ,   0 ] .

Para f ser ímpar, precisamos que:

f - x =   - f ( x )

No intervalo [ - L 2 , 0 ] , devemos ter:

f - x =   - x

Mas, o parâmetro da função está como - x . Pra deixar em função de x , onde tiver - x trocamos por x . Assim:

f x =   x   ,           - L 2 ≤ x ≤ 0

Massa! Agora no intervalo - L ,   - L 2 .

Precisamos ter:

f - x =   - ( L - x )

Novamente trocando - x por x , temos:

f x =   - L + x ,         - L ≤ x ≤ L 2

Ou seja, podemos definir f de modo que ela seja ímpar, assim:

f x =   - ( L + x ) ,     - L ≤ x ≤ - L 2 x ,     - L 2 ≤ x ≤ L 2 L - x ,     L 2 ≤ x ≤ L

E, para ela ser periódica, podemos dizer que essa cara do gráfico formado em [ - L , L ] se repete com período 2 L .

(Isso é um truque bem legal e importante de ter em mente no contexto das séries de Fourier. Não precisamos definir f pra cada intervalozinho, pois pra ela ser periódica essa definição fica mudando.)

Massa!

Agora vamos desenhar o gráfico dessa função no intervalo [ - 3 L ,   3 L ] :

(consideramos L = 1 sem perda de generalização).

Show de bola! Vamos pra série de Fourier efetivamente!!

Passo 3

Agora precisamos determinar os coeficientes b n da série de Fourier. Temos que:

b n = 2 L ∫ 0 L f x s e n n π x L d x

Daí, como f é definida por partes no intervalo [ 0 , L ] , temos:

b n = 2 L ⋅ ∫ 0 L 2 x s e n n π x L d x + ∫ L 2 L L - x s e n n π x L d x  

Massa! Então, vamos resolver cada uma dessas integrais, começando por:

∫ 0 L 2 x s e n n π x L d x

Pra resolver essa integral precisamos usar o método de integração por partes. Bora dar uma revisada nele:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Assim, fazendo:

u = x d v = s e n n π x L

Logo, temos:

∫ 0 L / 2 x s e n n π x L d x = x L n π ⋅ - cos ⁡ n π x L 0 L / 2 + L n π ⋅ ∫ 0 L / 2 cos ⁡ n π x L d x

= - L 2 2 n π ⋅ cos ⁡ n π 2 + L n π ⋅ L n π ⋅ s e n n π x L 0 L / 2

= - L 2 2 n π ⋅ cos ⁡ n π 2 + L 2 n 2 π 2 ⋅ s e n n π 2  

Daí, vamos analisar.

- Se n é par:

∫ 0 L / 2 x s e n n π x L d x = - L 2 2 n π ⋅ c o s ⁡ ( n π 2 )

- Se n é impar:

∫ 0 L / 2 x s e n n π x L d x = L 2 n 2 π 2 ⋅ s e n n π 2

Beleza! Então essa primeira integral morreu 😊

Passo 4

Queremos agora calcular:

∫ L 2 L L - x s e n n π x L d x = L ∫ L 2 L s e n n π x L d x - ∫ L 2 L x s e n n π x L d x

Na primeira integral, vamos ter:

∫ L 2 L s e n n π x L d x = L n π ⋅ - cos ⁡ n π x L L 2 L  

= L n π ⋅ cos ⁡ n π 2 - cos ⁡ n π

Já na segunda, podemos aproveitar um pouco do resultado do item anterior, mudando apenas os limites de integração:

∫ L 2 L x s e n n π x L d x =   x L n π ⋅ - cos ⁡ n π x L L 2 L + L n π ⋅ L n π ⋅ s e n n π x L L 2 L  

= L 2 n π cos ⁡ n π 2 2 - cos ⁡ n π + L 2 n 2 π 2 ⋅ s e n n π - s e n n π 2

Como s e n n π = 0 , temos:

L 2 n π cos ⁡ n π 2 2 - cos ⁡ n π + - L 2 n 2 π 2 ⋅ s e n n π 2

Substituindo o resultado das duas integrais, vamos ter:

∫ L 2 L L - x s e n n π x L d x =

L n π ⋅ cos ⁡ n π 2 - cos ⁡ n π - L 2 n π cos ⁡ n π 2 2 - cos ⁡ n π + L 2 n 2 π 2 ⋅ s e n n π 2

Daí:

- Se n é par:

∫ L 2 L L - x s e n n π x L d x = L nπ ⋅ cos ⁡ n π 2 1 - L 2 + L n π ( L - 1 )

- Se n é ímpar:

∫ L 2 L L - x s e n n π x L d x = L n π 1 - L + L 2 n 2 π 2 ⋅ s e n n π 2

Excelente! Juntando ambos os resultados em b n , temos:

b n = 2 L ⋅ ∫ 0 L 2 x s e n n π x L d x + ∫ L 2 L L - x s e n n π x L d x

- Se n par:

b n = 2 L ⋅ - L 2 2 n π ⋅ cos ⁡ n π 2 + L nπ ⋅ cos ⁡ n π 2 1 - L 2 + L n π L - 1

=   L nπ ⋅ cos ⁡ n π 2 1 - L + L n π L - 1

= L ( L - 1 ) n π ⋅ 1 - cos ⁡ n π 2

- Se n ímpar:

b n = L 2 n 2 π 2 ⋅ s e n n π 2 + L n π 1 - L + L 2 n 2 π 2 ⋅ s e n n π 2

= L n π 1 - L + 2 L n π s e n n π 2

Todo mundo conseguindo acompanhar até aqui?

Passo 5

Pra finalizar, podemos escrever a série de Fourier.

f x   ~   ∑ n = 1 ∞ b n s e n n π x L

Como separamos b n nos casos n par e n ímpar, vamos também separar o somatório. Mas aí, nos casos n par, trocamos o n por 2 n , e nos casos n ímpar, trocamos n por ( 2 n - 1 ) .

Vamos ter:

f x ~   ∑ n = 1 ∞ L L - 1 2 n π ⋅ 1 - cos ⁡ 2 n π 2 s e n 2 n π x L +

+ ∑ n = 1 ∞ L 2 n - 1 π 1 - L + 2 L 2 n - 1 π s e n 2 n - 1 π 2 s e n 2 n - 1 π x L

Pronto galera, é só esse monstrinho daí de cima!

E aí, o que acharam? Curtiram a solução?

Responde Aí!

Resposta

f x ~   ∑ n = 1 ∞ L L - 1 2 n π ⋅ 1 - cos ⁡ 2 n π 2 s e n 2 n π x L +

+ ∑ n = 1 ∞ L 2 n - 1 π 1 - L + 2 L 2 n - 1 π s e n 2 n - 1 π 2 s e n 2 n - 1 π x L

Exercícios de Livros Relacionados

Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π