Obtenha a série de Fourier em cossenos de cada uma das funções a seguir. Você pode utilizar a applet da Sagemath disponibilizada no Moodle. Em cada caso, esboce seu gráfico no intervalo - 3 L ,   3 L .

c )   f x = x 2 ,         0 ≤ x ≤ L .

Passo 1

Faaaala galerinha do bem, tudo na paz com vocês?

Nessa questão recebemos a função:

f x = x 2 ,     0 ≤ x ≤ L

E, precisamos calcular a série de Fourier de f apenas em cossenos.

Sempre que queremos obter uma série de Fourier apenas em cossenos, precisamos que a função esteja definida como uma função par e periódica.

A função dada, quando definida nos reais, já é uma função par. Então, precisamos apenas defini-la de modo que ela também seja periódica. Beleza?

Depois disso, podemos seguir a ideia normal de série de Fourier de funções pares. Temos que:

f x   ~ a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n c o s n π x L

onde:

a n = 2 L ∫ 0 L f x c o s n π x L d x   ,         n = 0,1 , 2,3 , …

Tranquilo até aqui? Vem comigo que vai ficar ainda mais claro!!

Passo 2

Bom, pra começar, vamos definir f de modo que ela seja periódica. A definição dada no enunciado, é válida para:

0 ≤ x ≤ L

Mas, no contexto das séries de Fourier, o período da função é dado por 2 L . Então, vamos ampliar a definição de f , de modo que ela permaneça sendo par e também se torne periódica.

f x = x 2 ,     - L < x < 0 0 ,     x ∈ Z x 2   ,     0 < x < L

com f periódica de período 2 L .

Uma observação rápida galera:

Quando definimos a função dessa forma, significa que estamos desenhando a curva no intervalo [ - L , L ] e para os outros pontos dos reais, apenas vamos “colando” a mesma curva. Isso basicamente é um modo de definir f a facilitar o formalismo matemático.

Caso contrário, precisaríamos escrever algo do tipo:

f x =   x 2   ,     0 ≤ x ≤ L x - L 2 ,     L ≤ x ≤ 2 L x - 2 L 2 ,     2 L ≤ x ≤ 3 L

E, assim por diante pra infinitos trechos... Agora sacaram porque apenas escrevemos a definição no intervalo [ - L , L ] e dizemos que ela é periódica de período 2 L ?

Perfeito! Vamos então desenhar o seu gráfico no intervalo [ - 3 L , 3 L ] :

Passo 3

Agora precisamos calcular efetivamente a nossa série de Fourier em senos de f ( x ) . Para isso precisamos calcular os coeficientes a n :

a n = 2 L ∫ 0 L x 2 c o s n π x L d x

Para resolver a integral acima precisamos utilizar o método de integração por partes. Bora dar uma rápida revisada nele:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Daí, fazendo:

u = x 2 d v = cos ⁡ n π x L

Temos:

∫ 0 L x 2 c o s n π x L d x = x 2 L n π ⋅ s e n n π x L 0 L - 2 L n π ⋅ ∫ 0 L x s e n n π x L d x

= L 3 n π ⋅ s e n n π - 2 L n π ⋅ ∫ 0 L x s e n n π x L d x

Como n ∈ N , temos:

s e n n π = 0

Logo:

∫ 0 L x 2 c o s n π x L d x = - 2 L n π ⋅ ∫ 0 L x s e n n π x L d x

Precisamos resolver a integral:

∫ 0 L x s e n n π x L d x

Assim, fazendo:

u = x d v = s e n n π x L

Logo, temos:

∫ 0 L x s e n n π x L d x = x L n π ⋅ - cos ⁡ n π x L 0 L + L n π ⋅ ∫ 0 L cos ⁡ n π x L d x

= - L 2 n π ⋅ cos ⁡ n π + L n π ⋅ L n π ⋅ s e n n π x L 0 L

= - L 2 n π ⋅ cos ⁡ n π + L 2 n 2 π 2 ⋅ s e n n π  

Daí, vamos analisar. Como n ∈ N , temos que:

s e n n π = 0

Ficamos só com o primeiro termo:

- L 2 n π ⋅ cos ⁡ n π

Daí, quando tivermos:

cos ⁡ n π = - 1 ,     n   í m p a r cos ⁡ n x = 1 ,     n   p a r

Podemos escrever:

- L 2 n π ⋅ cos ⁡ n π = - L 2 n π ⋅ - 1 n

= - 1 n + 1 L 2 n π

Logo:

∫ 0 L x 2 c o s n π x L d x = - 2 L n π ⋅ ∫ 0 L x s e n n π x L d x

=   - 2 L n π ⋅ - 1 n + 1 L 2 n π

= - 1 n 2 L 3 n 2 π 2

Daí, substituindo na expressão de a n :

a n = 2 L ∫ 0 L x 2 c o s n π x L d x

∴ a n = - 1 n 4 L 2 n 2 π 2   ,         n = 0,1 , 2,3 , …

OPA OPA OPA! Pera lá... se n = 0 temos um problema nessa expressão!!

Passo 4

Vamos então voltar para a integral que define a n e colocar n = 0 desde lá para calcularmos a 0 .

a n = 2 L ∫ 0 L x 2 c o s n π x L d x

∴ a 0 = 2 L ⋅ ∫ 0 L x 2 d x

= 2 L ⋅ x 3 3 0 L

∴ a 0 = 2 L 2 3

Podemos então, finalmente escrever a nossa série de Fourier:

f x   ~ L 2 3 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 4 L 2 n 2 π 2 ⋅ cos ⁡ n π x L

É isso pessoal! Muito obrigado pela atenção 😉

Resposta

f x   ~ L 2 3 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 4 L 2 n 2 π 2 ⋅ cos ⁡ n π x L

Exercícios de Livros Relacionados

Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π