Obtenha a série de Fourier em senos de cada uma das funções a seguir. Você pode utilizar a applet da Sagemath disponibilizada no Moodle. Em cada caso, esboce seu gráfico no intervalo - 3 L ,   3 L .

a )   f x = cos ⁡ x   ,       0 ≤ x ≤ π .

Passo 1

Fala aí galera, tudo bem por aí?

Nessa questão recebemos a função:

f x = cos ⁡ x ,     0 ≤ x ≤ π

E, precisamos obter a série de Fourier em senos dessa função.

Puts!!! A função cosseno é uma função par, mas pra obtermos uma série de Fourier apenas em senos precisamos estar tratando de uma função ímpar. Será que o enunciado tá errado?

Nãooooo hahaha... é um tipo de probleminha mais complicado mesmo, mas tem uns truques bem legais que vamos aprender, então vem comigo!

A ideia principal pra conseguir escrever uma série de Fourier apenas de senos para uma função qualquer, é que podemos estender o gráfico da função dada, definindo ela por partes, de modo a forçá-la a ser ímpar.

Depois disso, podemos seguir a ideia normal de série de Fourier de funções ímpares. Temos que:

f x   ~   ∑ n = 1 ∞ b n s e n n π x L

onde:

b n = 2 L ∫ 0 L f x s e n n π x L d x   ,         n = 1,2 , 3 , …

Tranquilo até aqui? Vem comigo que vai ficar ainda mais claro!!

Passo 2

Bom, a primeira etapa é construirmos o gráfico da nossa função no intervalo [ - 3 L ,   3 L ] de modo que ela seja ímpar e periódica.

No contexto da série de Fourier, temos que o período T da função vale:

T f = 2 L

Assim, pra determinarmos L , e consequentemente 3 L , precisamos antes determinar o período da função.

“Ah, fácil. O período do cosseno é 2 π . "

Muita calma nessa hora hahaha, de fato o período da função cosseno é 2 π , mas isso é quando ela está definida nos reais. Aqui, temos que f foi definida apenas no intervalo [ 0 , π ] .

Então, vamos definir f de modo que ela realmente seja ímpar.

Vamos dizer que:

f x = - cos ⁡ x ,   - π ≤ x < 0 0   ,     x = 0 cos ⁡ x ,     0 < x ≤ π

Com período, a princípio de 2 π . Pode ser que o período seja menor que 2 π , caso a curva para [ 0 , π ] fique igual à curva para [ - π , 0 ] .

Sei que isso é um truque bem truquento, mas é a chave pra resolver esse tipo de exercício. Pois, definindo f dessa forma, conseguimos fazer ser válido:

f x = - f - x

Logo, tornamos f ímpar 😊.

Daí, podemos traçar o seu gráfico. Primeiro vamos esboçá-lo no intervalo [ - π , π ] .

Vamos ter:

Olha que legal, quando redefinimos f dessa forma encontramos que o seu período na verdade vale π .

Assim:

2 L = π

∴ 3 L = 3 π 2

Massa! Daí, pra traçar o gráfico no intervalo [ - 3 π 2 , 3 π 2 ] basta repetirmos essa figura do gráfico acima, a esquerda de - π e a direita de + π . Vamos ter:

Prontinho! A primeira parte já foi 😊

Passo 3

Bom, como vimos no passo anterior, conseguimos definir f ( x ) como:

f x = - cos ⁡ x ,   - π ≤ x < 0 0   ,     x = 0 cos ⁡ x ,     0 < x ≤ π

Mas, logo após vimos que o seu período vale π . Então, poderíamos simplificar essa definição escrevendo:

f x = cos ⁡ x   ,           0 < x < π 0   ,                                           x = k π

com período T f = π .

“Ué, essa não é a mesma definição dada no enunciado?”

Mais ou menos gente, a grande diferença é que ampliamos o domínio da função pra todos os reais afirmando que o período dela é π .

Além disso, precisávamos ter definido daquela forma mais elaborada pra forçar a função ser ímpar. O que aconteceu é que, no caso da função cosseno, ocorre uma “coincidência” da definição que usamos pra [ - π , 0 ] já se encaixar com a definição de [ 0 , π ] .

Isso ocorre porque a curva de f x = c o s ⁡ ( x ) no intervalo [ 0 , π ] é simétrica com relação à bissetriz do 1 ° quadrante.

Beleza?!

Massa! Pra os coeficientes da expansão de f em série de Fourier, precisamos fazer:

b n = 2 L ∫ 0 L f x s e n n π x L d x

Como vimos L = π / 2 , vamos ter:

b n = 2 π 2 ⋅ ∫ 0 π / 2 cos ⁡ x ⋅ s e n n π x π 2 d x

= 4 π ⋅ ∫ 0 π / 2 cos ⁡ x ⋅ s e n ( 2 n x ) d x

Pra resolver essa integral, podemos usar a transformação trigonométrica de produto em soma. Basicamente, vale que:

s e n p + s e n q = 2 ⋅ s e n p + q 2 ⋅ cos ⁡ p - q 2

Daí, temos:

s e n p + s e n q 2 = s e n 2 n x ⋅ c o s ⁡ ( x )

Então:

2 n x = p + q 2 x = p - q 2

Então:

p = x ( 2 n + 1 )

q = x ( 2 n - 1 )

Logo:

4 π ⋅ ∫ 0 π 2 cos ⁡ x ⋅ s e n 2 n x d x = 4 π ⋅ 1 2 ∫ 0 π / 2 s e n 2 n + 1 x + s e n 2 n - 1 x d x

Perfeito! Vamos resolver essa integral!

Passo 4

Temos:

b n = 2 π ∫ 0 π / 2 s e n 2 n + 1 x + s e n 2 n - 1 x d x

= 2 π ⋅ ∫ 0 π 2 s e n 2 n + 1 x d x + ∫ 0 π 2 s e n 2 n - 1 x d x

= 2 π ⋅ - cos ⁡ 2 n + 1 x 2 n + 1 0 π 2 + - cos ⁡ 2 n - 1 x 2 n - 1 0 π 2

Substituindo os limites de integração, e lembrando que, se k é impar, então:

cos ⁡ k ⋅ π 2 = 0

E ( 2 n + 1 ) e ( 2 n - 1 ) são ímpares.

Logo:

b n = 2 π ⋅ 1 2 n + 1 + 1 2 n - 1

= 2 π ⋅ 2 n - 1 + 2 n + 1 4 n 2 - 1

Logo:

b n = 8 n π ⋅ 4 n 2 - 1   ,   n = 1,2 , 3 …

Aee! Conseguimos encontrar os coeficientes b n . Logo:

f x   ~   ∑ n = 1 ∞ b n s e n 2 n x

Onde:

b n = 8 n π ⋅ 4 n 2 - 1   ,   n = 1,2 , 3 …  

Ufaaaa! Deu muito trabalho mas conseguimos encontrar a série de Fourier de f ( x ) . Obrigado pela atenção pessoal 😊

Resposta

f x   ~   ∑ n = 1 ∞ b n s e n 2 n x

Onde:

b n = 8 n π ⋅ 4 n 2 - 1   ,   n = 1,2 , 3 …  

Exercícios de Livros Relacionados

Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π