Considere a função f ( x ) = x definida no intervalo [ 0 , π ] .

( b ) Sem calcular os coeficientes, determine o valor da série de Fourier em senos no ponto x = π .

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

Temos a função

f ( x ) = x

precisamos determinar o valor da série de Fourier em senos no ponto x = π , mas sem calcular os coeficientes! Na alternativa anterior calculamos as extensões ímpar e par da função como

g ( x ) = x ,       s e   0 ≤ x ≤ π e g ( x ) = - x ,         s e   - π ≤ x ≤ 0

e, também

h ( x ) = x ,       s e   0 < x < π , h ( x ) = 0 ,         s e   x = 0 ,   π       e h ( x ) = x ,         s e   - π < x < 0

Para calcularmos a série de Fourier em senos, precisaremos da extensão ímpar h ( x ) , e aplicar a seguinte definição

f ( x ) = a 0 2 + ∑ m = 1 ∞ ( a m c o s ( m π x L ) + b m s e n ( m π x L ) )

Belezinha! Existem algumas coisas que podemos dizer sobre a série sem calcular os coeficientes! Bora lá!

Passo 2

Como queremos a série de Fourier em senos, estaremos lidando com a extensão ímpar da função f ( x ) , determinada como

h ( x ) = x ,       s e   0 < x < π , h ( x ) = 0 ,         s e   x = 0 ,   π       e h ( x ) = x ,         s e   - π < x < 0

como esta é uma série em senos, podemos dizer diretamente que os coeficientes a 0 = 0 e a n = 0 , por argumentos de simetria das séries de Fourier, restando apenas

h ( x ) = ∑ m = 1 ∞ b m s e n ( m π x / L )

em nosso caso temos que L = π , e queremos a série em x = π , portanto

h ( π ) = ∑ m = 1 ∞ b m s e n ( m π 2 / π ) = ∑ m = 1 ∞ b m s e n ( m π )

como s e n ( m π ) = 0 , temos que

h ( π ) = 0

Essa alternativa foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

h ( π ) = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π