Calcule a série de Fourier das funções a seguir, definidas no intervalo [ - π , π ] .

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Precisamos calcular a série de Fourier da seguinte função

para isso, iremos calcular os coeficientes de Fourier

a 0 = 1 L ∫ - L L f ( x ) d x

a n = 1 L ∫ - L L f ( x ) c o s ( n π x L ) d x

b n = 1 L ∫ - L L f ( x ) s e n ( n π x L ) d x

e, substituí-los na expressão

f ( x ) ≈ a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n c o s ( n π x L ) + b n s e n ( n π x L )

Bora lá!

Passo 2

Temos a seguinte função

essa função é simplesmente 1 no intervalo [ π / 2 , π ] , e 0 para [ - π , π / 2 ] . Portanto, essa é uma função sem paridade definida, de forma que temos que calcular todos os coeficientes, temos que

a 0 = 1 L ∫ - L L f ( x ) d x = 1 π ∫ π / 2 π d x

Essa integral pode ser identificada diretamente como

a 0 = 1 π [ π - π / 2 ] = 1 / 2

Vamos calcular agora os coeficientes dos cossenos!

Passo 3

Vamos calcular agora

a n = 1 π ∫ π / 2 π f ( x ) c o s ( n x ) d x = 1 π ∫ π / 2 π c o s ( n x ) d x

A integral é tal que

a n = 1 π ∫ π / 2 π c o s ( n x ) d x = 1 n π s e n ( n x ) | π / 2 π

portanto, temos que

a n = - 1 n π s e n ( n π 2 )

Vamos calcular agora os coeficientes de seno!

Passo 4

Temos que calcular

b n = 1 π ∫ π / 2 π s e n ( n x ) d x

o resultado é então da forma

b n = - 1 n π c o s ( n x ) | π / 2 π = - 1 n π [ c o s ( n π ) - c o s ( n π / 2 ) ]

A série é então dada por

f ( x ) ≈ 1 4 - 1 π ∑ n = 1 ∞ 1 n s e n ( n π 2 ) c o s ( n x ) + 1 n [ c o s ( n π ) - c o s ( n π / 2 ) ] s e n ( n x )

A questão é isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

f ( x ) ≈ 1 4 - 1 π ∑ n = 1 ∞ 1 n s e n ( n π 2 ) c o s ( n x ) + 1 n [ c o s ( n π ) - c o s ( n π / 2 ) ] s e n ( n x )

Exercícios de Livros Relacionados

Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π