Os coeficientes de Fourier de f x ⋅ g ( x ) se calculam multiplicando os coeficientes correspondentes de f ( x ) e g ( x ) .

Passo 1

Faaaaala galerinha, tudo na paz por aí?

Aqui precisamos analisar se a afirmação dada no enunciado é verdadeira ou falsa.

Foi dito que, a série de Fourier de:

f x ⋅ g ( x )

é calculada multiplicando os coeficientes das séries de f ( x ) e de g x .

E aí, será que isso é verdade?

Bom, antes de responder essa pergunta, vamos dar uma revisada em quem é a série de Fourier de uma função f ( x ) :

f x   ~ a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n s e n n π x L

onde T = 2 L é o período de f . E, sobre os coeficientes a n e b n valem que:

a n = 1 L ⋅ ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x ,         n = 0,1 , 2,3 , …

b n = 1 L ⋅ ∫ - L L f x s e n n π x L d x ,         n = 1,2 , 3 , …

Massa! Sabendo disso vamos buscar calcular a série de Fourier de f x ⋅ g ( x ) em função da série de Fourier de f ( x ) e de g ( x ) .

Vem comigo 😊

Passo 2

Bom pessoal, antes de sairmos fazendo várias contas vamos pensar um pouquinhoo...

Se essa afirmação for verdadeira, estamos dizendo que:

a n = a n , f ⋅ a n , g

onde a n são os coeficientes da série de Fourier de f ⋅ g e a n , f   e a n , g são os das séries de f e g , respectivamente.

Mas, como é que calculamos a n pelo que vimos anteriormente?

a n = 1 L ⋅ ∫ - L L f x ⋅ g ( x ) cos ⁡ n π x L d x

Puts, mas pra então ser verdade que:

a n = a n , f ⋅ a n , g

Precisaríamos que fosse verdade que:

1 L ⋅ ∫ - L L f x ⋅ g x cos ⁡ n π x L d x = 1 L ⋅ ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x ⋅ 1 L ⋅ ∫ - L L g x cos ⁡ n π x L d x

Só que isso não é verdade de modo geral, pois a integral do produto de funções não é a o produto das integrais das funções.

Pra que fique bem evidente vamos dar um contra-exemplo!

Passo 3

Digamos que:

f x = x g x = 1 x

Então:

a 0 = 1 L ⋅ ∫ - L L x ⋅ 1 x cos ⁡ 0 d x  

= 1 L ⋅ ∫ - L L 1 d x

= 2

Beleza! Agora vamos calcular quanto seria o produto a n , f ⋅ a n , g :

a n , f = 1 L ⋅ ∫ - L L x ⋅ cos ⁡ 0 d x

= 1 L L 2 2 - - L 2 2 = 0

Portanto, independente do resultado de a n , g o produto já seria nulo.

Mas,

a 0 = 2

Portanto, a afirmação é falsa.

Aeeee! Terminamos 😊

Até a próxima pessoal!!!

Resposta

Falsa.

Exercícios de Livros Relacionados

Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π