Para cada uma das funções abaixo, definidas no intervalo [ - π , π ] , obtenha sua série de Fourier e esboce seu gráfico no intervalo [ - 3 π , 3 π ] .

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Precisamos calcular a série de Fourier da seguinte função

para isso, iremos calcular os coeficientes de Fourier

a 0 = 1 L ∫ - L L f ( x ) d x

a n = 1 L ∫ - L L f ( x ) c o s ( n π x L ) d x

b n = 1 L ∫ - L L f ( x ) s e n ( n π x L ) d x

e, substituí-los na expressão

f ( x ) ≈ a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n c o s ( n π x L ) + b n s e n ( n π x L )

Por último precisamos fazer o plot do gráfico desta série! Vamos começar calculando os coeficientes não-nulos! Vem comigo!

Passo 2

Temos a seguinte função

essa função é simplesmente 1 - | x | no intervalo [ - 1,1 ] , e 0 para [ - π , - 1 ] ∪ [ 1 , π ] . Portanto, essa é uma função de paridade par de forma que só precisamos calcular os coeficientes de cosseno e coeficiente constante, o primeiro é dado por

a 0 = 1 L ∫ - L L f ( x ) d x = 1 π ∫ - 1 - 1 [ 1 - | x | ] d x

como temos que | x | = - x para x < 0 e | x | = x para x > 0 , podemos escrever que

a 0 = 1 π ∫ - 1 - 1 [ 1 - | x | ] d x = 1 π ∫ - 1 1 d x + 1 π ∫ - 1 0 x d x - 1 π ∫ 0 1 x d x

Essas integrais podem ser identificadas diretamente como

∫ - 1 1 d x = 2

∫ - 1 0 x d x = 1 2 x 2 | - 1 0 = - 1 2

∫ 0 1 x d x = 1 2

Portanto, o coeficiente constante é simplesmente

a 0 = 2 π - 1 π = 1 π

Vamos para os coeficientes de cosseno agora!

Passo 3

Os coeficientes de cosseno são obtidos calculando

a n = 1 L ∫ - L L f ( x ) c o s ( n π x L ) d x = 1 π ∫ - 1 1 [ 1 - | x | ] c o s ( n x ) d x

Analogamente ao que dizemos anteriormente, podemos separar a expressão acima como

a n = 1 π ∫ - 1 1 c o s ( n x ) + 1 π ∫ - 1 0 x c o s ( n x ) d x - 1 π ∫ 0 1 x c o s ( n x ) d x

a primeira integral é bastante direta, resultando em

∫ - 1 1 c o s ( n x ) = 1 n [ s e n ( n x ) ] | - 1 1 = 2 n s e n ( n )

em que usei a paridade da função seno. Agora, as outras precisam ser integradas por partes, temos que

u = x e d u = d x

e

d v = c o s ( n x ) d x e v = 1 n s e n ( n x )

de forma que as integrais se tornam

∫ x c o s ( n x ) d x = 1 n x s e n ( n x ) - 1 n ∫ s e n ( n x ) d x

em que a segunda integral é dada por

∫ s e n ( n x ) d x = - 1 n c o s ( n x )

e, portanto, temos que

∫ x c o s ( n x ) d x = 1 n x s e n ( n x ) + 1 n 2 c o s ( n x ) + C

Avaliando os limites de integração temos que

∫ - 1 0 x c o s ( n x ) d x = 1 n [ x s e n ( n x ) ] | - 1 0 + 1 n 2 c o s ( n x ) | - 1 0 = 1 n s e n ( n ) + 1 n 2 [ 1 - c o s ( n ) ]

em que usei a paridade do seno e do cosseno. A outra integral se torna

∫ 0 1 x c o s ( n x ) d x = 1 n s e n ( n ) + 1 n 2 [ c o s ( n ) - 1 ]

O coeficiente tem então a seguinte forma

a n = 2 n π s e n ( n ) + 1 n π s e n ( n ) + 1 n 2 π [ 1 - c o s ( n ) ] - 1 n π s e n ( n ) - 1 n 2 π [ c o s ( n ) - 1 ]

simplificando alguns termos

a n = 2 n π s e n ( n ) + 2 n 2 π [ 1 - c o s ( n ) ] = 2 n π { s e n ( n ) + 1 n [ 1 - c o s ( n ) ] }

Vamos escrever a nossa série de Fourier agora!

Passo 4

Nossa série pode ser escrita como

f ( x ) ≈ 1 2 π + 2 π ∑ n = 1 ∞ 1 n [ s e n ( n ) - 1 n c o s ( n ) ] c o s ( n x )

o gráfico pode ser obtido como

Mas note que ele deve ser colocado sobre o eixo x devido ao termo a 0 somando. O comportamento se repete por toda a extensão do intervalo pedido! A questão foi isso, te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

f ( x ) ≈ 1 2 π + 2 π ∑ n = 1 ∞ 1 n [ s e n ( n ) - 1 n c o s ( n ) ] c o s ( n x )

Exercícios de Livros Relacionados

Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π