Obtenha a série de Fourier em cossenos de cada uma das funções a seguir. Você pode utilizar a applet da Sagemath disponibilizada no Moodle. Em cada caso, esboce seu gráfico no intervalo - 3 L ,   3 L .

b )   f x = x   ,       0 ≤ x ≤ L .

Passo 1

E aí gente, tudo bem com vocês?

Nessa questão recebemos a função:

f x = x   ,   0 ≤ x ≤ L

E, precisamos determinar a sua série de Fourier apenas em cossenos.

Sempre que queremos obter uma série de Fourier apenas em cossenos, precisamos que a função esteja definida como uma função par e periódica.

O problema é que, a função f x = x , quando definida nos reais, não é nem par nem periódica...

Nessas situações precisamos expandir o intervalo de definição de f (observa que nesse problema ela foi definida apenas em [ 0 , L ] ) de modo a torná-la par e periódica.

Depois disso, podemos seguir a ideia normal de série de Fourier de funções pares. Temos que:

f x   ~ a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n c o s n π x L

onde:

a n = 2 L ∫ 0 L f x c o s n π x L d x   ,         n = 0,1 , 2,3 , …

Tranquilo até aqui? Vem comigo que vai ficar ainda mais claro!!

Passo 2

Bom, pra começar precisamos ampliar a definição de f ( x ) para torná-la par e periódica.

Para que ela seja par, precisa ser verdade que:

f - x = f x                         0 ≤ x ≤ L .

∴ f - x = x

Se x está nesse intervalo, - L ≤ - x ≤ 0 . Assim, vamos definir f no intervalo [ - L , 0 ] . Daí, na relação acima, onde tiver - x vamos trocar por x :

f x =   - x ,       - L ≤ x ≤ 0

Logo, podemos escrever a definição de f como:

f x =   - x ,     - L ≤ x ≤ 0 x ,     0 ≤ x < L

com f periódica de período 2 L .

Isso significa que pra desenhar a curva de f à esquerda e à direita de - L e L , respectivamente, basta “colar” a mesa curva que aparece no intervalo [ - L , L ] . Assim, conseguimos de um jeito simples expandir a definição da nossa função pra todos os reais, e ainda forçando ela a ser ímpar e periódica. Sacaram?

Vamos então desenhar o seu gráfico no intervalo [ - 3 L , 3 L ] :

Show de bola! Vamos pra próxima parte agora 😊

Passo 3

Agora precisamos calcular efetivamente a série de Fourier de f ( x ) . Para isso precisamos calcular os coeficientes a n :

a n = 2 L ∫ 0 L x c o s n π x L d x

Pra calcular essa integral, precisamos usar o método de integração por partes. Dando uma rápida revisada, ele diz que:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Assim, fazendo:

u = x d v = cos ⁡ n π x L

Temos:

∫ 0 L x c o s n π x L d x = x L n π ⋅ s e n n π x L 0 L - L n π ⋅ ∫ 0 L s e n n π x L d x

= L 2 n π ⋅ s e n ( n π ) - L n π ⋅ L n π ⋅ - cos ⁡ n π x L 0 L

Como n ∈ N , temos que:

s e n n π = 0

Logo:

∫ 0 L x c o s n π x L d x = L 2 n 2 π 2 cos ⁡ n π - 1

Daí:

- Se n é par:

cos ⁡ n π = 1

∴ ∫ 0 L x c o s n π x L d x = 0

- Se n é ímpar:

cos ⁡ n π = - 1

∫ 0 L x c o s n π x L d x = - 2 L 2 n 2 π 2

Assim, podemos escrever que:

a n = 2 L ⋅ - 2 L 2 2 n + 1 2 π 2 ,   n = 0,1 , 2,3 , …

onde trocamos n por 2 n + 1 para pegarmos apenas valores ímpares.

Ou seja:

a n = - 4 L 2 n + 1 2 π 2 ,   n = 0,1 , 2,3 , …

Porém, aqui ainda temos um probleminha muito sutil...Conseguem ver qual é?

Passo 4

Quando resolvemos a integral que define a n , estávamos resolvendo para todos os possíveis valores de n , inclusive 0 . Mas, durante a resolução, em vários momentos escrevemos frações com n no denominador, e se substituíssemos n por 0, teríamos um absurdo matemático.

Por isso, precisamos calcular a 0 separadamente, a partir da definição de a n , colocando n = 0 .

Se liga só:

a n = 2 L ∫ 0 L x c o s n π x L d x

∴ a 0 = 2 L ∫ 0 L x d x

= 2 L ⋅ x 2 2 0 L

∴ a 0 = L 2

Excelente!!

Daí, podemos escrever a série de Fourier como:

f x   ~   L 4 + ∑ n = 0 ∞ - 4 L 2 n + 1 2 π 2 cos ⁡ ( 2 n + 1 ) π x L

Aeee! Terminamos!

Até a próxima pessoal 😉

Resposta

f x   ~   L 4 + ∑ n = 0 ∞ - 4 L 2 n + 1 2 π 2 cos ⁡ ( 2 n + 1 ) π x L

Exercícios de Livros Relacionados

Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π