Obtenha a série de Fourier em senos de cada uma das funções a seguir. Você pode utilizar a applet da Sagemath disponibilizada no Moodle. Em cada caso, esboce seu gráfico no intervalo - 3 L ,   3 L .

e )   f x = x 3   ,                 0 ≤ x ≤ L

Passo 1

E aí gente, tudo bem com vocês?

Nessa questão recebemos a função:

f x = x 3   ,   0 ≤ x ≤ L

E, precisamos determinar a sua série de Fourier apenas em senos.

Sempre que queremos obter uma série de Fourier apenas em senos, precisamos que a função esteja definida como uma função ímpar e periódica.

A função dada, quando definida nos reais, já é uma função ímpar. Então, precisamos apenas defini-la de modo que ela também seja periódica. Beleza?

Depois de escrevermos essa definição, podemos usar que a série de Fourier em senos de uma função ímpar e periódica vale:

f x   ~   ∑ n = 1 ∞ b n s e n n π x L

onde:

b n = 2 L ∫ 0 L f x s e n n π x L d x   ,         n = 1,2 , 3 , …

Tranquilo até aqui? Vem comigo que vai ficar ainda mais claro!!

Passo 2

Bom, pra começar, vamos definir f de modo que ela seja periódica. A definição dada no enunciado, é válida para:

0 ≤ x ≤ L

Mas, no contexto das séries de Fourier, o período da função é dado por 2 L . Então, vamos ampliar a definição de f , de modo que ela permaneça sendo ímpar e também se torne periódica.

f x = x 3 ,     - L < x < 0 0 ,     x ∈ Z x 3   ,     0 < x < L

com f periódica de período 2 L .

Uma observação rápida galera:

Quando definimos a função dessa forma, significa que estamos desenhando a curva no intervalo [ - L , L ] e para os outros pontos dos reais, apenas vamos “colando” a mesma curva. Isso basicamente é um modo de definir f a facilitar o formalismo matemático.

Caso contrário, precisaríamos escrever algo do tipo:

f x =   x 3   ,     0 ≤ x ≤ L x - L 3 ,     L ≤ x ≤ 2 L x - 2 L 3 ,     2 L ≤ x ≤ 3 L

E, assim por diante pra infinitos trechos... Agora sacaram porque apenas escrevemos a definição no intervalo [ - L , L ] e dizemos que ela é periódica de período 2 L ?

Perfeito! Vamos então desenhar o seu gráfico no intervalo [ - 3 L , 3 L ] :

(consideramos L = 1 para fins do gráfico, sem perda de generalidade).

onde f se anula para todo x ∈ Z .

Perfeito! Temos f ímpar e periódica.

Passo 3

Agora precisamos calcular efetivamente a série de Fourier de f . Pra fazer isso, devemos calcular:

b n = 2 L ∫ 0 L x 3 s e n n π x L d x

Então, basicamente, devemos calcular a integral:

∫ 0 L x 3 s e n n π x L d x

Para isso, precisamos usar o método de integração por partes. Vamo dar uma revisada nele:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Assim, fazendo:

u = x 3 d v = s e n n π x L

Logo:

∫ 0 L x 3 s e n n π x L d x = x 3 L n π ⋅ - cos ⁡ n π x L 0 L + 3 L n π ⋅ ∫ 0 L x 2 cos ⁡ n π x L d x

=   - L 4 n π ⋅ cos ⁡ n π + 3 L n π ⋅ ∫ 0 L x 2 cos ⁡ n π x L d x

Então, precisamos calcular a integral:

∫ 0 L x 2 cos ⁡ n π x L d x

Usando novamente o método de integração por partes, vamos ter:

u = x 2 d v = cos ⁡ n π x L

Logo:

∫ 0 L x 2 cos ⁡ n π x L = x 2 L n π ⋅ s e n n π x L 0 L - 2 L n π ⋅ ∫ 0 L x s e n n π x L d x

Como s e n n π = 0 , pois n ∈ N . Temos:

∫ 0 L x 2 cos ⁡ n π x L = - 2 L n π ⋅ ∫ 0 L x s e n n π x L d x

Substituindo na expressão do nosso termo b n :

∫ 0 L x 3 s e n n π x L d x = - L 4 n π ⋅ cos ⁡ n π - 6 L 2 n 2 π 2 ⋅ ∫ 0 L x s e n n π x L d x

Ainda precisamos calcular a integral:

∫ 0 L x s e n n π x L d x

Assim, fazendo:

u = x d v = s e n n π x L

Logo, temos:

∫ 0 L x s e n n π x L d x = x L n π ⋅ - cos ⁡ n π x L 0 L + L n π ⋅ ∫ 0 L cos ⁡ n π x L d x

= - L 2 n π ⋅ cos ⁡ n π + L n π ⋅ L n π ⋅ s e n n π x L 0 L

= - L 2 n π ⋅ cos ⁡ n π + L 2 n 2 π 2 ⋅ s e n n π  

Daí, vamos analisar. Como n ∈ N , temos que:

s e n n π = 0

Ficamos só com o primeiro termo:

- L 2 n π ⋅ cos ⁡ n π

Daí, quando tivermos:

cos ⁡ n π = - 1 ,     n   í m p a r cos ⁡ n x = 1 ,     n   p a r

Podemos escrever:

- L 2 n π ⋅ cos ⁡ n π = - L 2 n π ⋅ - 1 n

= - 1 n + 1 L 2 n π

Substituindo na nossa expressão principal, vem:

∫ 0 L x 3 s e n n π x L d x = - L 4 n π ⋅ cos ⁡ n π - 6 L 2 n 2 π 2 ⋅ - 1 n + 1 L 2 n π

Mas, temos que analisar os casos n par e n ímpar:

- Se n é par:

cos ⁡ n π = 1

∴ ∫ 0 L x 3 s e n n π x L d x = - L 4 n π + 6 L 2 n 2 π 2 ⋅ L 2 n π

= L 4 n π 6 n 2 π 2 - 1

- Se n é impar:

cos ⁡ n π = - 1

∴ ∫ 0 L x 3 s e n n π x L d x = L 4 n π - 6 L 4 n 3 π 3

= L 4 n π 1 - 6 n 2 π 2

Então, podemos generalizar como:

∫ 0 L x 3 s e n n π x L d x = - 1 n L 4 n π 6 n 2 π 2 - 1  

Assim, temos que:

b n = 2 L ∫ 0 L x 3 s e n n π x L d x

= - 1 n 2 L 3 n π 6 n 2 π 2 - 1    

Massa! Daí, podemos finalmente escrever a série de Fourier de f :

f x ~ ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 L 3 n π 6 n 2 π 2 - 1 s e n n π x L

Excelente pessoal!

Curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

f x ~ ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 L 3 n π 6 n 2 π 2 - 1 s e n n π x L

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Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π