Determine a transformada de Fourier das funções a seguir utilizando a tabela de transformadas vista em sala de aula.

Passo 1

Oiie, tudo bem com você?

Nesta questão temos que calcular a transformada de Fourier de uma função da forma

para isso devemos usar uma tabela de transformadas conhecidas! O enunciado indica uma tabela oficial nas notas de aula, mesmo sem ter acesso a esta tabela, existem resultados conhecidos que irei utilizar, belezinha? Nesta questão devemos partir do resultado

F ( ω ) = ∫ 0 ∞ e - a x d x = 1 2 π 1 a + i ω ,   a > 0         ( 1 )

e, também usar a propriedade

𝓕 ( f ( x ) s e n ( ω 0 x ) ) = i 2 F ( ω + ω 0 ) - i 2 F ( ω - ω 0 )         ( 2 )

Vamos tentar usar esses resultados! Saca só!

Passo 2

Se identificarmos que na equação ( 2 ) , temos que f ( x ) = e - x , então temos que a = 1 na equação ( 1 ) , e a transformada é tal que

F ( ω ) = 1 2 π 1 1 + i ω

Mas, nossa função é multiplicada por um seno, sendo assim, precisamos aplicar a propriedade ( 2 ) , como temos em nossa função simplesmente s e n ( x ) , temos que ω 0 = 1 , a nossa transformada final é dada então por

𝓕 ( f ( x ) s e n ( ω 0 x ) ) = i 2 1 2 π 1 1 + i ( ω + 1 ) - i 2 1 2 π 1 1 + i ( ω - 1 )

que pode ser simplificada como

𝓕 ( f ( x ) s e n ( ω 0 x ) ) = i 2 1 2 π [ 1 + i ( ω + 1 ) - 1 - i ( ω - 1 ) 1 - ( ω + 1 ) ( ω - 1 ) ] = i 2 1 2 π [ 2 i 1 - ( ω 2 - 1 ) ]

Ou simplesmente

𝓕 ( f ( x ) s e n ( ω 0 x ) ) = 1 2 π [ 1 ω 2 - 2 ]

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

𝓕 ( f ( x ) s e n ( ω 0 x ) ) = 1 2 π [ 1 ω 2 - 2 ]

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Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π