Determine a série de Fourier das funções a seguir.

( b )   f ( x ) = 3 x + 1 ,   - L ≤ x ≤ L ;

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Precisamos calcular a série de Fourier da seguinte função

  f ( x ) = 3 x + 1 ,   - L ≤ x ≤ L

para isso, iremos calcular os coeficientes de Fourier

a 0 = 1 L ∫ - L L f ( x ) d x

a n = 1 L ∫ - L L f ( x ) c o s ( n π x L ) d x

b n = 1 L ∫ - L L f ( x ) s e n ( n π x L ) d x

e, substituí-los na expressão

f ( x ) ≈ a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n c o s ( n π x L ) + b n s e n ( n π x L )

Bora lá!

Passo 2

Temos a seguinte função

f ( x ) = 3 x + 1

como ela não tem paridade definida, precisamos calcular todos os coeficientes, primeiro temos que

a 0 = 1 L ∫ - L L f ( x ) d x = 3 L ∫ - L L x d x + 1 L ∫ - L L d x

como x é uma função ímpar, temos que a primeira integral se anula, restando apenas a integral

1 L ∫ - L L d x = 1 L [ x ] | - L L = 2

Vamos calcular agora o coeficiente do cosseno!

Passo 3

Temos que calcular

a n = 1 L ∫ - L L f ( x ) c o s ( n π x L ) d x = 3 L ∫ - L L x   c o s ( n π x L ) d x + 1 L ∫ - L L c o s ( n π x L ) d x

temos que x é uma função ímpar e c o s ( n π x L ) é uma função par, portanto, o produto de ambas é uma função ímpar, assim, a primeira integral se anula. A segunda é da forma

1 L ∫ - L L c o s ( n π x L ) d x = 1 n π s e n ( n π x L ) - L L = 2 n π s e n ( n π )

no entanto, s e n ( n π ) = 0 , portanto, temos que

a n = 0

Por último, o coeficiente do seno! Vamos lá!

Passo 4

Temos que calcular

b n = 1 L ∫ - L L f ( x ) s e n ( n π x L ) d x = 3 L ∫ - L L x   s e n ( n π x L ) d x + 1 L ∫ - L L s e n ( n π x L ) d x

como temos que a função s e n ( n π x L ) é ímpar a segunda integral se anula. No entanto, precisamos fazer a primeira por partes, usando a escolha

u = x e d u = d x

e, também

d v = s e n ( n π x L ) d x e v = - L n π c o s ( n π x L )

Temos que nossa integral se torna

b n = - 3 n π x   c o s ( n π x L ) | - L + L + 3 n π ∫ - L L c o s ( n π x L ) d x

A integral que falta pode ser identificada diretamente como

∫ - L L c o s ( n π x L ) d x = L n π s e n ( n π x L ) | - L L

temos então como resultado final

b n = - 3 n π x c o s ( n π x L ) | - L + L + 3 L n 2 π 2 s e n ( n π x L ) | - L + L

Vamos avaliar os limites e reescrever a expressão!

Passo 5

Avaliando os limites de integração temos que

b n = - 3 n π [ L   c o s ( n π ) + L   c o s ( n π ) ] + 3 n 2 π 2 [ L   s e n ( n π ) - L s e n ( n π ) ]

em que usei a paridade da função cosseno e seno para manter os argumentos iguais, simplificando, temos que

b n = - 6 L n π c o s ( n π )

quando n é ímpar, temos que c o s ( n π ) = - 1 e quando n é par, temos que c o s ( n π ) = + 1 , então podemos reescrever a expressão acima como

b n = 6 L n π ( - 1 ) n + 1

de forma que a nossa série de Fourier é simplesmente

f ( x ) ≈ 1 + 6 L π ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n c o s ( n π x L )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

f ( x ) ≈ 1 + 6 L π ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n c o s ( n π x L )

Exercícios de Livros Relacionados

Uma série de Fourier finita é dada pela soma f x = ∑ n = 1 N a n s i n ⁡ ( n x ) = a 1 sin ⁡ x + a 2 sin ⁡ 2 x + … + a N sin ⁡ N x Mostre que o m - ésimo coeficiente a m é dado pela fórmula a m = 1 π