Certo lago pode suportar uma população máxima de 20.000 peixes. Considerando que há poucos peixes no lago, sabe-se que a taxa de crescimento populacional será proporcional ao produto da população existente pela diferença da população existente a partir de 20.000 , ou seja, f x = k x . ( 20.000 - x ) , onde f x é a taxa de crescimento para uma população de dimensão x .

Pergunta-se: Para que população a taxa de crescimento será máxima?

Passo 1

A pergunta é: qual o valor de x que maximiza a função f x .

Sabemos que para fazer essa maximização, precisamos procurar o ponto crítico de f ( x ) :

d d x f x = d d x k x 20000 - x

f ' x = d d x 20000 k x - k x 2

f ' x = 20000 k - 2 k x

Passo 2

E o ponto crítico acontece em:

f ' x = 0

20000 k - 2 k x = 0

20000 - 2 x = 0

x = 10.000

E podemos confirmar que isso é um ponto de máximo se verificarmos que a derivada segunda é negativa:

f ' ' x = d d x f x = d d x 20000 - 2 x = - 2

Ótimo, então de fato temos um máximo na taxa f ( x ) quando x = 10.000

Resposta

A taxa de crescimento é máxima quando a população é de x = 10.000 .

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O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da função f x = 5 x 2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da função f x = x 3 + x 2 - x