3(c) Use multiplicadores de Lagrange para achar possíveis pontos na fronteira de D onde f alcança valores extremos.

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, estamos interessados em obter os valores máximos de f nas bordas de D e para isso foi dito para usarmos os multiplicadores de Lagrange.

Sabe como fazemos isso? 🤔

Usamos os multiplicadores de Lagrange quando temos que obter pontos de maximização em curvas que estão associadas a outras curvas.

Por exemplo, se f x , y = x y 2 , perceba que se x = 0 ou y = 0 , f será igual a 0 . Mas como f se comporta na outra borda de D ? No arco de raio 3 .

Ou seja, temos que encontrar os pontos máximos de f que estão associados a x 2 + y 2 = 9 no primeiro quadrante.

Entendeu? Bora lá!

Passo 2

Vamos chamar de g , a função x 2 + y 2

g x , y = x 2 + y 2

Então, aplicando o multiplicador de Lagrange associando f e g , temos

f x , y = λ g x , y

Derivando os dois lados para obter os pontos críticos, temos

∇ f = λ ∇ g

Calculando as derivadas parciais de f pelo método de derivada polinomial.

∂ f ∂ x = y 2

∂ f ∂ y = 2 x y

Fazendo o mesmo para g x , y

∂ g ∂ x = 2 x

∂ g ∂ y = 2 y

Substituindo na equação...

∇ f = λ ∇ g

y 2 , 2 x y = λ 2 x , 2 y

y 2 = λ 2 x 2 x y = λ 2 y x 2 + y 2 = 9

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Assumindo λ ≠ 0 , temos que

λ = y 2 2 x λ = 2 x y 2 y x 2 + y 2 = 9

Igualando os dois λ

y 2 2 x = 2 x y 2 y → y 2 2 x = x

y 2 = 2 x 2

y = 2 x

Substituindo essa relação na terceira equação

x 2 + y 2 = 9

x 2 + 2 x 2 = 9

x = 3

E, portanto

y = 2 3 = 6

Assim, vemos que um ponto extremo de f nas bordas de g é o ponto 3 , 6

E outro ponto extremo é quando x = 0 e y = 0 .

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

Ponto extremo 3 , 6

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