Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos

UFPE, Cálculo 1, PF - 2017.2, Questão Q03

Considere a função f x = x - 1 e x

Determine suas assíntotas (caso existam), intervalos de crescimento e decrescimento, pontos críticos, máximos e mínimos locais (caso existam), analise a concavidade e encontre pontos de inflexão (caso existam) e, por fim, esboce o gráfico da função, destacando os elementos anteriores.

Passo 1

Determinar as assíntotas

Essa questão pediu tanta coisa que só faltou pedir pra fazer um cafezinho também. Mas bem, questão é questão então vamos lá. Primeiro, pra determinar as assíntotas, temos que ver se a função não tende a nenhum valor quando:

x + x - y + y -

Para achar as assíntotas horizontais, tudo que a gente tem que fazer é calcular o limite. Pra começar, da uma olhada:

lim x + x - 1 e x

Quando x fica infinitamente grande e positivo, todo x - 1 e x fica infinitamente grande também. Ou seja, sem assíntotas aqui. Agora, quando fazemos:

lim x - x - 1 e x

Com x infinitamente grande, porém negativo, e x vai virar um número infinitamente pequeno, pois se reescrevermos o sinal de negativo, seria o mesmo que 1 e x para x infinitamente grande e positivo. O limite disso é 0 . Sendo assim:

lim x - x - 1 e x = 0

Opa, então a reta y = 0 é uma assíntota horizontal dessa f x . Pra ver as assíntotas verticais, basta a gente checar algum valor de x que “dê ruim” na função. Em matematiquês, que resulte em alguma descontinuidade. Como f x aceita qualquer x , então não vamos ter assíntotas verticais.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Encontrar a primeira derivada

Esse tipo de questão sempre vai pedir da gente o teste da primeira derivada, beleza? Guarda na cachola isso porque pra acharmos tudo que a questão pede, temos que saber o comportamento da reta tangente a curva ao longo da curva. E como a primeira derivada nos da a inclinação da reta tangente, partiu derivar:

f ' x = d   x - 1 e x d x

f ' x = x e x

Passo 3

Achar os pontos críticos

Pontos críticos são todos os pontos em que a primeira derivada é nula. Sendo assim, temos que fazer:

f ' x = x e x = 0

Logo de cara, conseguimos ver que x = 0 é uma solução. E como e x é um número sempre positivo e nunca nulo, vai ser a única solução, tudo bem? Então show de bola, encontramos a raíz da primeira derivada. Usando esses valores de x na função original, vamos ter:

f x = x - 1 e x

f 0 = 0 - 1 e 0

f 0 = - 1

O único ponto crítico vai ser então:

0 , - 1

Passo 4

Classificar o ponto crítico

Pra gente saber se um ponto crítico é de mínimo, máximo ou de inflexão, temos que lembrar que:

E se nenhum dos dois aplicar, ai no caso temos um ponto de inflexão, beleza? Então vamos assumir que δ = 0,1 por exemplo e checar os pontos:

f ' - 0,1 =   - 0,0904

f ' 0,1 =   0,1105

Portanto, vamos ter que:

0 , - 1 P o n t o   d e   m í n i m o

Passo 5

Achar os intervalos de crescimento e decrescimento

Crescimento e decrescimento tem tudo a ver também com a inclinação da reta tangente! Afinal, desde a invenção da máquina de lavar, quando a inclinação é negativa, a função é decrescente e quando é positiva, a função é crescente. Então vamos olhar bem para:

f ' x = x e x

Com a raíz

x = 0

Vamos ver então o que acontece em intervalos que envolvam a raíz. Isto é:

x < 0

x > 0

No primeiro intervalo, vamos pegar qualquer x < 0 . Por exemplo, x = - 0 , 1

f ' - 0,1 =   - 0,0904

No quarto intervalo, vamos pegar qualquer x > 0 .Porexemplo, x = 0 , 1

f ' 0,1 =   0,1105

Analisando os resultados e seus sinais, a gente chega a conclusão que:

f x = c r e s c e n t e   ,     s e   x > 0

f x = d e c r e s c e n t e   ,     s e   x < 0

Passo 6

Analisar a concavidade

Pra analisar a concavidade vamos ter que fazer o teste da segunda derivada. Pra refrescar a memória:

Maravilha, vamos então achar a segunda derivada

f ' ' x = d d x f ' x = d d x   x e x = x + 1 e x

Agora se f ' ' x > 0 , vamos ter:

x + 1 e x > 0

x + 1 > 0

x > - 1

Agora se f ' ' x < 0 , vamos ter:

x + 1 e x < 0

x + 1 < 0

x < - 1

Por fim:

f x = c ô n c a v o   p r a   c i m a ,     s e   x > - 1

f x = c ô n c a v o   p r a   b a i x o ,     s e   x < - 1

Passo 7

Esboçar o gráfico

É, pra esboçar o gráfico na mão vai dar um trabalhinho porque vamos ter que destacar tudo que vimos anteriormente. Mas, no final das contas, vai ficar assim:

Resposta

A s s í n t o t a   y = 0

0 , - 1 P o n t o   d e   m í n i m o

f x = c r e s c e n t e   ,     s e   x > 0

f x = d e c r e s c e n t e   ,     s e   x < 0

f x = c ô n c a v o   p r a   c i m a ,     s e   x > - 1

f x = c ô n c a v o   p r a   b a i x o ,     s e   x < - 1

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