Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos

UFRJ, Cálculo 1, P2 - 2016.1, Questão ME8

Considere a função f x = x 4 ln x . O valor de x 0 tal que f x f x 0 para todo x > 0 é:

  1. e - 1 4 .
  2. e 4 .
  3. e - 4 .
  4. e 1 4 .

Passo 1

A questão quer saber um valor x 0 tal que qualquer outro ponto com x maior que zero da função f x seja maior ou igual a ele.

O que ela quer, traduzindo, é o valor mínimo de f que está em algum ponto crítico. Para achá-lo, vamos achar os pontos críticos derivando pela regra do produto:

f ' x = 4 x 3 ln x + x 4 1 x = x 3 4 ln x + 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos agora chegar aos pontos críticos que estão onde a derivada é zero ou não existe. Ela zera em x = 0 , mas esse ponto não faz parte do domínio, já que o ln x explode aí. Então vamos descartá-lo. Assim sendo, sobra:

4 ln x + 1 = 0

Isolemos o log x :

4 ln x = - 1 ln x = - 1 4

Aplicando a exponencial de base e :

e ln x = e - 1 4

Como a exponencial de base e é a inversa de l n , então:

x = e - 1 4

Esse é o único ponto crítico plausível e não há nenhuma alternativa que diz que não há solução, então vamos considerá-lo como sendo mínimo e marcar a letra a .

Resposta

x 0 = e - 1 4

Letra a .

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