Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos

USP, Cálculo 1, P2 - 2017, Questão 2

Deseja-se construir uma piscina retangular com 18 m ²   de área (da superfície) a 3 m de distância de um muro. Paralela aos demais lados da piscina será construída uma cerca, deixando um corredor de circulação de 1 m de largura.

Sabe-se que os lados da piscina paralelos ao muro devem ter no mínimo 2 m e no máximo 6 m . Sejam a e A as áreas mínima e máxima que a região cercada pode ter. Então, a   +   A vale:

  1. 100   m ²
  2. 102   m ²
  3. 104   m ²
  4. 106   m ²
  5. 108   m ²

Passo 1

Vamos chamar o comprimento da piscina de x e a altura de y . Sendo assim, a região cercada é dada por

A = ( 3 + y + 1 ) ( 1 + x + 1 )

A = ( 4 + y ) ( 2 + x )

Essa é a função para a qual precisamos encontrar um valor máximo e um valor mínimo. Então teremos que derivar, mas antes precisamos escrever a área em função de apenas uma variável. Já que o enunciado diz que

A p i s c i n a = 18   m ²

e sabemos que

x y = A p i s c i n a

então podemos isolar uma dessas variáveis e depois substituir na função da área.

y = 18 x

E finalmente

A ( x ) = ( 4 + 18 x ) ( 2 + x )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos derivar a função encontrada para a área e encontrar seus pontos de máximo e de mínimo.

A ' x = 4 - 36 x ²

A ' x = 0 4 - 36 x 2 = 0

36 x ² = 4

x = 3

O valor negativo foi desconsiderado, pois estamos lidando com medidas.

Encontramos o ponto critico x = 3 e fazendo o teste da primeira derivada teremos o seguinte

A ' x < 0 para x < 3

A ' x > 0 para x > 3

Logo, x = 3 é ponto de mínimo da função.

Passo 3

Quando x = 3 entao y = 6 e a área será mínima ( A ) , valendo:

A = 4 + 6 2 + 3 = 50

Se invertermos os valores, isto é, x = 6 e y = 3 a área será máxima ( a ) :

a = 4 + 3 2 + 6 = 56

Portanto, a + A vale

50 + 56 = 106

Resposta

d) 106   m ²

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