Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos

UNESA, Cálculo Diferencial e Integral I, Banco de Questões - Estácio - AV3, Questão 11

Encontre os pontos de inflexão da curva f x = 3 x 4 - 10 x 3 - 12 x 2 + 12 x - 7 .

Passo 1

Pra ter uma ideia do que estamos falando, um ponto de inflexão é uma coisa como essa:

E então as condições para que tenhamos um ponto de inflexão em x 0 são:

f ' ' x 0 = 0

f ' ' ' x 0 0

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Passo 2

Vamos calcular as duas derivadas:

f x = 3 x 4 - 10 x 3 - 12 x 2 + 12 x - 7

f ' x = 12 x 3 - 30 x 2 - 24 x + 12

f ' ' x = 36 x 2 - 60 x - 24

f ' ' ' x = 72 x - 60

Vamos começar achando os pontos que tem derivada segunda nula,

f ' ' x = 0

36 x 2 - 60 x - 24 = 0

Dividindo tudo por 12 :

3 x 2 - 5 x - 2 = 0

E então:

x 0 = 5 ± - 5 2 - 4 ( 3 ) ( - 2 ) 6 = 5 ± 49 6 = 5 ± 7 6

Ou seja, temos duas raízes:

x 0 1 = 2

x 0 2 = - 1 3

Passo 3

Agora só o que precisamos fazer é verificar se esses pontos tem derivada terceira diferente de zero!

f ' ' ' x = 72 x - 60

Testando os nossos pontos:

f ' ' ' 2 = 72 2 - 60 = 84

f ' ' ' - 1 3 = 72 - 1 3 - 60 = - 84

Ou seja, ambos os pontos são de fato pontos de inflexão.

f 2 = 3 ( 2 ) 4 - 10 2 3 - 12 2 2 + 12 ( 2 ) - 7 = - 63

E o primeiro ponto é ( 2 , - 63 )

f - 1 3 = 3 - 1 3 4   - 10 - 1 3 3 - 12 - 1 3 2 + 12 - 1 3 - 7

f - 1 3 = 3 81 + 10 27 - 12 9 - 11 = 3 + 30 - 108 81 - 11 = - 75 81 - 11 = - 322 27

E o segundo ponto é - 1 3 , - 322 27 .

Resposta

Os pontos de inflexão são - 1 3 , - 322 27 e ( 2 , - 63 ) .

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