Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos

UFPE, Cálculo 1, 2º EE - 2018.1, Questão Q03

Encontre os pontos de máximo e mínimo absolutos (globais) da função f x = x   4 - x 2 no intervalo - 1,2 , bem como seus valores. Explique por que os pontos encontrados são realmente os pontos de máximo e mínimo absolutos da função.

Passo 1

Bora lá. Pontos de máximo e de mínimo são pontos críticos, ou seja, pontos onde a inclinação da reta tangente é 0 . Como inclinação de reta tangente tem tudo a ver com a primeira derivada, partiu derivar essa função:

f ' x = x   4 - x 2 '

f ' x = x ' 4 - x 2 + x 4 - x 2 '

f ' x = 4 - x 2 + x 2 4 - x 2 4 - x 2 '

f ' x = 4 - x 2 + x 2 4 - x 2 - 2 x

Ajeitando a expressão da primeira derivada, ficamos com:

f ' x = 4 - x 2 - x 2 4 - x 2

f ' x = 4 - x 2 4 - x 2 - x 2 4 - x 2

f ' x = 4 - 2 x 2 4 - x 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ok, mas a questão não para aí! Achamos a primeira derivada agora temos que ver quando que ela é nula! Só igualar à 0 então:

f ' x = 4 - 2 x 2 4 - x 2 = 0

4 - 2 x 2 = 0

2 x 2 = 4

x 2 = 2

x = ± 2

Opa, então quando x = 2 ou quando x = - 2 , a nossa querida função f x vai apresentar pontos críticos.

Passo 3

Bora ver quais pontos analisar mesmo, já que o enunciado restringiu o domínio. Como o intervalo foi - 1,2 e - 2 < - 1 , não podemos usar esse ponto em! Então os pontos que vamos analisar são as fronteiras e os pontos críticos que sobraram:

x = 2

x = - 1

x = 2

Já que sabemos quais x usar, agora é mão na massa! O valor da função nesses pontos vai ser:

f 2 = 2   4 - 2 ² = 2   4 - 2 = 2 2 = 2

f - 1 = - 1   4 - - 1 ² = - 1 4 - 1 = - 3

f 2 = 2   4 - 2 ² = 2 4 - 4 = 0

Show de bola, então no intervalo - 1,2 vamos ter:

P o n t o   d e   m á x i m o   g l o b a l = 2 , 2

P o n t o   d e   m í n i m o   g l o b a l = - 1 , - 3

Resposta

P o n t o   d e   m á x i m o   g l o b a l = 2 , 2

P o n t o   d e   m í n i m o   g l o b a l = - 1 , - 3

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