3) Encontre os pontos de máximo e de mínimo da função h t = t ∙ e - t 2 , quando restrita ao intervalo 0 ≤ t ≤ 2 ; ainda, especifique se tais pontos são de máximo/mínimo absoluto ou relativo

Passo 1

Pra começar, vamos lembrar o seguinte: o enunciado quer pontos de máximo/mínimo. Opa, esses pontos não são pontos críticos? Pois é, já que são eles mesmos, pra achar, bora derivar a função. Pela regra do produto:

h ' t = t ∙ e - t 2 '

h ' t = t ∙ e - t 2 ' + e - t 2 ∙ t '

h ' t = t ∙ e - t 2 ∙ - t 2 ' + e - t 2

h ' t = t ∙ e - t 2 ∙ - 2 t + e - t 2

h ' t = - 2 t 2 e - t 2 + e - t 2

O que no final das contas, dá:

h ' t = e - t 2 1 - 2 t 2

Pra achar ponto crítico, precisamos igualar a 0 a primeira derivada. Sendo assim:

e - t 2 1 - 2 t 2 = 0

O que só é possível quando

1 - 2 t 2 = 0

2 t 2 = 1

t 2 = 1 2

t = ± 1 2 = ± 2 2

Como estamos considerando o intervalo 0 ≤ t ≤ 2 , podemos descartar o ponto crítico negativo que encontramos e considerar só:

t = 2 2

Mas será que ele é um ponto de máximo ou será que é de mínimo? Será absoluto ou será relativo? Vamos testar.

Passo 2

Vamos ver se esse ponto é um ponto de máximo ou de mínimo, beleza? Pra isso, temos que ver o sinal da primeira derivada antes do ponto e depois do ponto. Antes do ponto, podemos testar t = 0 . Vamos ter:

h ' 0 = e 0 1 - 0 = 1 > 0

Pra depois do ponto, podemos testar t = 1 . Vamos ter:

h ' 1 = e 1 1 - 2 = - e < 0

Então se antes a função era crescente por ter primeira derivada positiva e depois ela era decrescente por ter primeira derivada negativa, t = 2 2 é um ponto de máximo! Pra saber se esse ponto é absoluto ou relativo no intervalo proposto, temos que testar todos os três valores:

h 0

h 2 2

h 2

Vamos ficar com:

h 0 = 0 ∙ e 0 = 0

h 2 2 = 2 2 ∙ e - 2 2 2 = 1 2 2 e

h 2 = 2 ∙ e - 2 2 = 2 e 4

Opa, chegamos então a conclusão que:

h 2 2 > h 2 > h 0

O que significa que t = 2 2 é um ponto de máximo absoluto, enquanto t = 0 é um ponto de mínimo absoluto. O coitado do t = 2 vai ser então um ponto de mínimo relativo uma vez que a função está decrescendo nesse intervalo e h 2 > h 0 .

Resposta

t = 0 → M í n i m o   a b s o l u t o t = 2 2 → M á x i m o   a b s o l u t o t = 2 → M í n i m o   r e l a t i v o

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