Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos

UFF, Cálculo IA, Listas GMA - Lista 14, Questão 15

Localize os pontos onde ocorrem os extremos absolutos das funções nos intervalos dados:

f x = 2 cos x - sin 2 x ,     x   0,4 π

Passo 1

Entender o que o enunciado pede

O truque pra essa questão vai estar sempre na inclinação da reta tangente, beleza? Se a inclinação for nula, temos um ponto de máximo, mínimo ou de inflexão. Como a primeira derivada nos fornece essa inclinação, vamos derivar:

f x = 2 cos x - sin 2 x

f ' x = 2 cos x - sin 2 x '

f ' x = - 2 sin x - 2 cos 2 x

Mas não para por ai. Ao fazermos f ' x = 0 , podemos encontrar valores de x fora do intervalo do enunciado! Então cuidado que esses a gente vai ter que retirar. E mais cuidado ainda porque as extremidades do intervalo podem ser importantes. Vamo que vamo então:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Encontrar raízes de f ' x e excluir as fora do intervalo

Agora, vamos dar uma olhada nas raízes da primeira derivada. Se a raiz é quando a função zera, então vamos ter:

f ' x = - 2 sin x - 2 cos 2 x = 0

sin x = - cos 2 x

Caraca, essa igualdade assusta um pouco, não é mesmo? A gente vai ter que modificar ela pra poder tirar alguma conclusão. E, como existe uma expressão pro cosseno de um arco duplo:

cos 2 x = 1 - 2 sin 2 x

A gente iguala então e fica com:

sin x = - 1   1 - 2 sin 2 x  

2 sin 2 x - sin x - 1 = 0

E aqui que vem a maldade da questão, a substituição y = sin x ! Se fizermos isso, nossa equação se transforma em:

2 y 2 - y - 1 = 0

E isso agora tem uma cara mais familiar, não é? Vamos então achar as raízes de f y = 2 y 2 - y - 1

y = 1 ± - 1 2 - 4.2 . - 1 2.2

y = 1 ± 1 + 8 4

y = 4 4 = 1   e   y = - 2 4 = - 1 2

E logo:

sin x = 1   e   sin x = - 1 2

Fazendo o arcosseno:

x = arcsin 1 = π 2 + 2 π k     k = 0,1 , 2

x = arcsin - 1 2 = 7 π 6 + 2 π k 11 π 6 + 2 π k     k = 0,1 , 2

Usando uma aproximação pra π = 3,14 , temos as seguintes aproximações:

x = arcsin 1 = 1,57 + 6,28 k     k = 0,1 , 2

x = arcsin - 1 2 = 3,66 + 6,28 k 5,76 + 6,28 k     k = 0,1 , 2

Eita, são infinitos pontos x ! E agora? Caaalma jovem gafanhoto, lembra que o intervalo é 0,4 π 0   ; 12,56 ? Então vamos excluir todos os pontos fora desse intervalo. Vamos lá então:

x = 1,57 + 6,28 k     x = 1,57     ,     k = 0   7,85     ,     k = 1 14,13     ,     k = 2 ,     k > 2

x = 3,66 + 6,28 k x = 3,66     ,     k = 0   9,94     ,     k = 1 16,22     ,     k = 2 ,     k > 2

x = 5,76 + 6,28 k x = 5,76   ,     k = 0   12,04     ,     k = 1 18 , 32     ,     k = 2 ,     k > 2

Os valores cortados então estão fora do intervalo. Por fim, vamos considerar somente os pontos:

x = 1,57   ; 7,85     ;   3,66     ; 9,94   ;   5,76     ;     12 , 04  

Ou, os mesmos valores, só que sem substituir o π :

x = π 2   ; 5 π 2     ;   7 π 6     ; 19 π 6   ;   11 π 6     ;     23 π 6  

E checando o valor da função:

f x = 2 cos x - sin 2 x

Para cada um dos valores de x acima vamos ter:

f π 2 = 0

f 5 π 2 = 0

f 7 π 6 - 2,6

f 19 π 6 - 2,6

f 11 π 6 2,6

f 23 π 6 2,6

Disso, tiramos os pontos críticos de f x , no intervalo dado, que são:

π 2   ; 0

5 π 2   ; 0

7 π 6   ; - 2,6

19 π 6   ;   - 2,6

11 π 6   ; 2,6

23 π 6   ;   2,6

Passo 3

Testar as extremidades

As extremidades tem que ser consideradas também. Se esquecermos delas pode dar ruim na prova, e ninguém quer isso né? Então vamos lá:

f 0 = 2 cos 0 - sin 2.0 = 2

f 4 π = 2 cos 4 π - sin 8 π = 2

Em forma de ponto, temos:

0,2

4 π , 2

Olhando pros pontos obtidos no passo anterior também, temos:

0,2

4 π , 2

π 2   ; 0

5 π 2   ; 0

7 π 6   ; - 2,6

19 π 6   ;   - 2,6

11 π 6   ; 2,6

23 π 6   ;   2,6

O maior valor de f x entre esses 8 pontos é 2 , 6 , e o menor é - 2 , 6 . Como, nesse caso, tem mais de um ponto que alcança os mesmos valores máximos e mínimos de f x , podemos considerar todos eles como pontos de extremo absoluto. Fechamos aqui então essa questão, bora pra próxima!

Resposta

7 π 6   ; - 2,6

19 π 6   ;   - 2,6

11 π 6   ; 2,6

23 π 6   ;   2,6

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