Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos

UFF, Cálculo IA, Listas GMA - Lista 14, Questão 14

Localize os pontos onde ocorrem os extremos absolutos das funções nos intervalos dados:

f x = x 3 - 3 x 2 ,     x   - 1,3

Passo 1

Entender o que o enunciado pede

O truque pra essa questão vai estar sempre na inclinação da reta tangente, beleza? Se a inclinação for nula, temos um ponto de máximo, mínimo ou de inflexão. Como a primeira derivada nos fornece essa inclinação, vamos derivar:

f x = x 3 - 3 x 2

f ' x = x 3 - 3 x 2 '

f ' x = 3 x 2 - 6 x

Mas não para por ai. Ao fazermos f ' x = 0 , podemos encontrar valores de x fora do intervalo do enunciado! Então cuidado que esses a gente vai ter que retirar. E mais cuidado ainda porque as extremidades do intervalo podem ser importantes. Vamo que vamo então:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Encontrar raízes de f ' x e excluir as fora do intervalo

Agora, vamos dar uma olhada nas raízes da primeira derivada. Se a raiz é quando a função zera, então vamos ter:

f ' x = 3 x 2 - 6 x = 0

x = 6 ± - 6 2 - 4.3 . 0 2.3

x = 6 ± 6 6

x = 2   e   x = 0

Nenhuma das duas está fora do intervalo - 1,3 , então podemos checar tanto f 0 quanto f 2 . Dá uma olhada:

f 0 = 0 3 - 3 . 0 2 = 0

f 2 = 2 3 - 3 . 2 2 = - 4    

Disso, tiramos dois pontos críticos de f x , que são:

0,0

2 , - 4

Passo 3

Testar as extremidades

As extremidades tem que ser consideradas também. Se esquecermos delas pode dar ruim na prova, e ninguém quer isso né? Então vamos lá:

f - 1 = - 1 3 - 3 . - 1 2 = - 4

f 3 = 3 3 - 3 . 3 2 = 0    

Em forma de ponto, temos:

- 1 , - 4

3,0

Olhando pros pontos obtidos no passo anterior, temos:

0,0

2 , - 4

O maior valor de f x entre esses 4 pontos é 0 , e o menor é - 4 . Como, nesse caso, tem dois pontos pra cada um desses valores, podemos considerar todos como pontos de extremo absoluto. Fechamos aqui então essa questão, bora pra próxima!

Resposta

- 1 , - 4

3,0

0,0

2 , - 4

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