Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos

USP, Cálculo 1, P2 - 2018, Questão ME05

ME05) Seja f x = e - x + x , definida em toda reta real. O número de soluções da equação f x = 2 no intervalo - 2,2 é:

  1. 3
  2. 1
  3. 2
  4. 4
  5. 0

Passo 1

Uma boa forma de se resolver essa questão é a gente tentar desenhar um pouquinho. Calma, juro que é só um pouco. Veja bem, o intervalo é - 2,2 né, então vamos ver os pontos extremos desse intervalo. Pra isso, como:

e 2,7

Pra facilitar nosso esboço, vamos considerar essa valor. Vamos ter que:

f - 2 2,7 2 - 2 7,29 - 2 = 5,29  

f 2 1 2,7 2 + 2 1 7,29 + 2 = 0,14 + 2 = 2,14  

Bora então marcar os pontos:

A = - 2   ;   5,29

B = 2   ;   2,14

E a reta:

f x = y = 2

Num gráfico:

Quando a função pergunta pra gente quantas soluções f x = 2 possui, sabendo que a função é contínua, é a mesma coisa que perguntar quantas vezes a curva da função corta a reta horizontal saindo de A e indo até B. Algumas coisas que poderiam acontecer:

Nesse caso, a função seria estritamente decrescente e não teria solução

Nesse caso, a função teria um ponto de máximo só e não teria solução

Já nesse, a função teria um ponto de mínimo só e teria uma ou duas soluções. Mas bem, isso foram só alguns exemplos pra mostrar uma coisa importante: vamos precisar saber da inclinação da reta tangente no intervalo - 2,2 pra responder a questão. Então bora achar:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como inclinação da reta tangente tem tudo a ver com a primeira derivada, vamos derivar então:

f ' x = e - x + x ' = - e - x + 1

Vimos no passo 1 quer uma das formas de ter solução é ter ponto de mínimo. Como ponto de mínimo é um ponto crítico, pra achar todos os pontos críticos de f x basta fazer:

f ' x = 0

Vamos ter então:

- e - x + 1 = 0

e - x = 1

1 e x = 1

x = 0

Opa, olha só! Então temos sim um ponto crítico! E ainda melhor, ele está dentro do intervalo - 2,2 . Vamos ver que tipo de ponto crítico é ele analisando o sinal da derivada antes e depois de x = 0 . Pra x = - 1 , por exemplo, vamos ter:

f ' - 1 = - 2,7 - - 1 + 1 = 1 - 2,7 = - 1,7 < 0

E para x = 1 , vamos ter:

f ' 1 = - 2,7 - 1 + 1 = 1 - 1 2,7 = 0,63 > 0

Beleza, antes a função decrescia porque a primeira derivada é negativa. Chegou em x = 0 passou a crescer, já que a primeira derivada passa a ser positiva. Temos então que:

x = 0 P o n t o   d e   M í n i m o

Passo 3

Pelo menos uma solução então f x = 2 vai ter. Pra saber se vai ser uma solução só ou não, temos que verificar se

f 0 = 2

Se sim, vamos ter uma solução. Agora, se:

f 0 < 2

Vamos ter duas soluções. E ainda, se:

f 0 > 2

Ficamos sem solução nenhuma. Partiu calcular então:

f 0 = e - 0 + 0 = 1

E como 1 < 2 , fechamos a questão: vão ser duas soluções!

Resposta

L e t r a   C

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