Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos

UFF, Cálculo IA, Listas GMA - Lista 14, Questão 17

Mostre que f x = ln x x tem um máximo absoluto em x = e . Conclua que π e < e π

Passo 1

Entender o que o enunciado pede

Essa questãozinha malandra pede pra gente provar que o maior valor em todo x   I R de f x ocorre em x = e . Sendo assim, o maior valor de f x será:

f e = ln e e = 1 e

Se esse é um máximo absoluto, então:

lim x ±  ∞ f x < f e

Então vamos provar que essa inequação é verdadeira beleza? Assim, estaremos mostrando o que o enunciado pede. Bora lá:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calcular o limite para x +

Vamo que vamo. O limite que queremos calcular é:

lim x +  ∞ ln x x

Opa, mas isso ai é uma indeterminação do tipo , não é? Isso mesmo. Tiramos de letra esse limite se aplicarmos L’Hospital:

lim x +  ∞ ln x x = lim x +  ∞ 1 x 1 = lim x +  ∞ 1 x = 0

E como tínhamos que provar que:

lim x +  ∞ f x < f e

Temos que realmente:

0 < 1 e

Passo 3

Calcular o limite para x -

Dessa vez calculamos o seguinte limite:

lim x -  ∞ ln x x

O procedimento nesse caso vai ser o mesmo do passo anterior, certo? Então vamos aplicar L’Hospital:

lim x -  ∞ ln x x = lim x -  ∞ 1 x 1 = lim x -  ∞ 1 x = 0

E como tínhamos que provar que:

lim x -  ∞ f x < f e

Temos que realmente:

0 < 1 e

Show de bola, obtivemos 0 < 1 e duas vezes! Então realmente f e = 1 e é o máximo absoluto de f x = ln x x .

Passo 4

Concluir que π e < e π

Pra fecharmos essa questão mesmo, temos que concluir que π e < e π . Beleza, ta vendo que dos dois lados da inequação eu tenho algo elevado a algo? E se eu aplicasse uma “operação logarítimo natural” dos dois lados? Dá uma olhada:

ln π e < ln e π

e ln π < π ln e

e ln π < π

Dividindo os dois lados por π e , vamos ter:

ln π π < 1 e

Opa, isso lembra o resultado do enunciado não é mesmo? Essa inequação é a mesma coisa que, sendo f x = ln x x , a seguinte inequação:

f π < f e

E como f e é o valor máximo de f x , como π e , então realmente é válida a inequação π e < e π .

Resposta

f e é de fato o máximo absoluto de f x e foi provado que π e < e π

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