Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos

USP, Cálculo 1, P2 - 2019, Questão ME29

Seja f x = 3 x + cos 2 x , para x I R . Qual dos seguintes pontos é ponto de mínimo local de f ?

  1. π 6
  2. π 3
  3. - 4 π 3
  4. - 5 π 6
  5. - π 3

Passo 1

Bora lá galera. Olha só, pontos de máximo ou de mínimo são sempre pontos críticos. Portanto, pra achar todos os pontos críticos basta a gente derivar e igualar a zero, ok? Vamos lá, pela regra da cadeia, temos:

f ' x = 3 x + cos 2 x '

f ' x = 3 - 2 sin 2 x = 0

2 sin 2 x = 3

sin 2 x = 3 2

2 x = arcsin 3 2

O arco cujo seno é 3 2 é um daqueles arcos de s e n , c o s , t g bem definidos! Então tá na mão! Olhando a tabela abaixo e o círculo trigonométrico, vemos que:

arcsin 3 2 = π 3 + 2 π k π - π 3 + 2 π k ,     k = i n t e i r o

arcsin 3 2 = π 3 + 2 π k 2 π 3 + 2 π k

Os pontos críticos vão ser então:

2 x = arcsin 3 2

2 x = π 3 + 2 π k 2 π 3 + 2 π k

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pra saber se um ponto é de máximo ou mínimo, a gente pode usar um recurso interessante com a segunda derivada. Veja bem:

  • Se o ponto crítico x = c (que é raiz de f ' x ) está dentro de um intervalo de crescimento de f ' x , então antes de c , f ' x < 0 e depois de c , f ' x > 0 . De tal forma que f ' ' c > 0 , e logo c é um mínimo local.
  • Se o ponto crítico x = c (que é raiz de f ' x ) está dentro de um intervalo de decrescimento de f ' x , então antes de c , f ' x > 0 e depois de c , f ' x < 0 . De tal forma que f ' ' c < 0 , e logo c é um máximo local.

Veja esse exemplo:

Veja que o ponto crítico x = 0 se encontra num intervalo de decrescimento de f ' x , algo evidenciado pelo fato de a inclinação da reta tangente de f ' x em x = 0 , isto é, f ' ' 0 , ser menor que zero. Logo x = 0 é um máximo local. Veja também que o ponto crítico x = 2 se encontra num invervalo de crescimento de f ' x , algo evidenciado pelo fato de a inclinação da reta tangente de f ' x em x = 2 , isto é, f ' ' 2 , ser maior que zero. Logo x = 2 é um mínimo local.

Passo 3

Deu pra ver então que vamos precisar da segunda derivada! Fazendo ela, pela regra da cadeia, temos:

f ' ' x = 3 - 2 sin 2 x '

f ' ' x = - 4 cos 2 x

Opa, como os pontos críticos são:

2 x = π 3 + 2 π k 2 π 3 + 2 π k

x = π 3 + 2 π k 2 2 π 3 + 2 π k 2

Vamos notar que:

f ' ' π 3 + 2 π k 2 = - 4 cos π 3 + 2 π k < 0

f ' ' 2 π 3 + 2 π k 2 = - 4 cos 2 π 3 + 2 π k > 0

São pontos de máximo local então:

x = 2 π 3 + 2 π k 2 = π 3 + π k = π 3 + 3 π k 3 = π 3 k + 1 3

Agora é só olhar nas respostas quais opções são possíveis de fazer pra escolhas de k inteiros. Note que se k = 0

x = π 3 k + 1 3 = π 3

E prontinho! Fechamos a questão! A resposta vai ser a letra B !

Resposta

L e t r a   B

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