Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos

USP, Cálculo 1, P2 - 2016, Questão ME3

Seja f x = e 2 x 3 + 9 x 2 definida no intervalo fechado [ - 5,1 ] . Se a é o valor máximo de f e se b é o valor mínimo de f , então o produto a b é:

Passo 1

Máximos e mínimos se encontram nos pontos críticos. Para achar as crianças, derivamos. Usando a regra da cadeia, aquela linda:

e 2 x 3 + 9 x 2 ' = e 9   x 2 +   2   x 3 18   x   +   6   x 2

Os pontos críticos se encontram onde a derivada não existe ou é nula. Uma vez que ela é composta por um polinômio e uma exponencial, sempre irá existir. A exponencial também é sempre positiva, o que implica que o zero será definido pelo polinômio:

18   x   +   6   x 2 = 0 6 x x + 3 = 0

Ou seja:

x = 0 ,   x = - 3

Que pertencem ao intervalo estipulado na questão. Não precisamos determinar qual é máximo e qual é mínimo por teste de primeira ou segunda derivadas, uma vez que vamos queremos determinar o produto dos dois e, portanto, a ordem não importa.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

f 0 = e 0 = 1

f - 3 = e 27

Tudo bem, mas ainda não sabemos se são os extremos globais no intervalo. Para saber, precisamos calcular f ( - 5 ) e f ( 1 ) , cuidado!

f - 5 = 1 e 25

f 1 = e 11

O que implica que b = 1 / e 25 , já que é o menor de todos. E a = e 27 ,   maior de todos. O produto será, portanto:

a b = e 2

Que corresponde a alternativa (c).

Resposta

a b = e 2

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