Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos

UFRJ, Cálculo 1, P2 - 2016.1, Questão ME9

Seja f uma função qualquer derivável em todos os pontos de R . Considere as afirmativas abaixo:

  1. Se f ' y 0 < 0 , então com certeza y 0 não é um máximo local de f .
  2. Se f ' y 0 = 0 , então com certeza x 0 é um mínimo ou máximo local de f .

É verdadeira ou são verdadeiras:

  1. Somente a afirmativa (I).
  2. Somente a afirmativa (II).
  3. Nenhuma das afirmativas.
  4. As afirmativas (I) e (II).

Passo 1

Vamos analisar cada uma das afirmativas. Comecemos pela afirmativa (I):

Se f ' y 0 < 0 , então com certeza y 0 não é um máximo local de f .

O que é necessário para que um ponto seja um ponto de máximo? É necessário que seja um ponto crítico, ou seja, que sua derivada tem que ser zero ou não pode existir.

O enunciado disse que a função é derivável, ou seja, a derivada sempre existe. Dessa maneira, resta que a derivada seja zero para que seja um ponto de máximo. Como f ' y 0 < 0 , a derivada é diferente de zero, e, portanto, y 0 não pode ser ponto de máximo e a afirmação é verdadeira.

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Passo 2

Vamos agora para a afirmativa (II):

  1. Se f ' y 0 = 0 , então com certeza x 0 é um mínimo ou máximo local de f .

Se f ' y 0 = 0 , então y 0 é um ponto crítico. Se y 0 é um ponto crítico, então ele pode ser um ponto de máximo, mínimo ou nenhum dos dois. Quer um exemplo? Veja a função g x = x 3 . Ela tem gráfico:

Derivando, temos:

g ' x = 2 x 2

No ponto x = 0 , temos um ponto critico, pois a derivada é zero, mas é notório, pelo gráfico, que não se trata de um ponto de mínimo nem um ponto de máximo.

Portanto, a derivada ser zero não implica em pontos de máximos ou mínimos e a afirmação é falsa!

Assim sendo, a alternativa correta é a letra a !

Resposta

letra a !

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