Seja f x =   3 x 4 +   4 x 3 - 12 x ²   +   7 . O ponto x   =   - 2 é ponto de

a. máximo local mas não global.

b. mínimo local mas não global.

c. máximo global.

d. mínimo global.

e. inflexão.

Passo 1

Derivando a função f encontramos

f ' x =   12 x ³ +   12 x ² - 24 x

Os pontos críticos são

f ' x =   0

12 x 3 +   12 x 2 - 24 x = 0

12 x x 2 + x - 2 = 0

x = 0 ; x = - 2 ; x = 1

Passo 2

Pra gente saber a natureza do ponto x = - 2 como ponto crítico, temos que analisar o sinal da primeira derivada antes e depois desse ponto. Fazendo, por exemplo:

f ' - 3 = -   144 < 0

f ' - 0,5 =   13,5 > 0

Se antes a derivada era positiva e depois negativa, x = - 2 é um ponto de mínimo. Isso já descarta pra gente as alternativas a , c , e . Pra fechar, basta a gente ver se esse ponto é de mínimo global ou não. Pra isso, veja que:

lim x → ± ∞ ⁡ f x = + ∞

Opa, então não tem jeito, precisamos checar os outros pontos pra ver se esse mínimo é global ou não.

Passo 3

Vamos analisar o sinal da primeira derivada de novo, beleza? Mas agora, pros outros pontos. Pra x = 0 , temos:

f ' - 0,5 =   13,5 > 0

f ' 0,5 =   - 7,5 < 0

Se antes a derivada era positiva e depois ficou negativa, então x = 0 é um ponto de máximo. Oras, se é de máximo, então ele não compete com x = - 2 pra ver quem é o global. Só quem talvez venha a competir é x = 1 e, pra isso, testamos:

f ' 0,5 =   - 7,5 < 0

f ' 1 , 5 =   31,5 > 0

É galera, o ponto x = 1 é de mínimo também! Agora é só ver qual deles é o global

Passo 4

Checando agora o valor da função nesses pontos, vemos quem é o global:

f - 2 = - 25

f 1 = 2

Opa, como f - 2 < f 1 , o ponto x = - 2 só pode ser mínimo global!

Resposta

d. mínimo global.

Exercícios de Livros Relacionados

O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da função f x = 5 x 2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da função f x = x 3 + x 2 - x