Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

CEFET - Cálculo 2 - P2 Roberto Sa 2012.1 – 1a

Calcule

0 1 0 1 - y 2 cos ( x 2 + y 2 ) d x d y

Passo 1

Antes de tudo, vamos analisar com calma aqui rapidinho. Repare que x varia desde x = 0 até x = 1 - y 2 e essa expressão nada mais é do que a parte com x positivo da circunferência x 2 + y 2 = 1 .

No termo que vamos integrar, temos x 2 e y 2 . Já entendeu onde queremos chegar? Isso tudo indica que a boa aqui é usar coordenadas polares. Vamos fazer isso então!

x = r   c o s   θ

y = r   s e n   θ

Como já vimos, o Jacobiano dessa transformação é J = r .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para a gente não se confundir, vamos desenhar essa região de integração e descobrir os intervalos de r e θ , ok? Como já falamos, x varia desde 0 até um arco de circunferência. Olhando para a integral, vemos que y varia de 0 até 1 . Então temos:

É isso aqui o que temos então. Agora ficou mais fácil de ver que 0 r 1 e 0 θ π / 2 (o equivalente a 1 / 4 de volta do círculo).

Passo 3

Vamos, então, montar a integral, substituindo os valores que atribuímos a x e y :

0 1   0 π 2 c o s r   c o s   θ 2 + r   s e n   θ 2 r d θ d r =

Esse r vem do Jacobiano!

= 0 1   0 π 2 r   c o s ( r 2 ) d θ d r =

Passo 4

Vamos começar integrando em relação a θ :

= 0 1   θ   r   c o s ( r 2 ) 0 π / 2 d r =

= π 2 0 1   r   c o s ( r 2 ) d r =

Passo 5

Agora integramos em relação a r . Para isso, vamos fazer a substituição:

r 2 = u

2 r d r = d u

= π 2 0 1   c o s ( r 2 ) r   d r d u / 2 =

= π 4 0 1   c o s ( u ) d u =

= π 4   s e n   u 0 1 =

= π 4   s e n   1

Resposta

π 4   s e n   1

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