Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

UFRJ - Cálculo 3 - P1 2011.1 - 1b

b) Calcule a integral

0 a cos b   0 x tg b f ( x , y ) d y d x + a cos b a   0 a 2 - x 2 f ( x , y ) d y d x

Considerando f x , y = x 4 - y 4

Passo 1

Como temos termos quadráticos tanto no domínio como na função a ser integrada, vamos utilizar coordenadas polares. Faremos:

x = r cos θ

y = r sen θ

J = r

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Passo 2

Agora precisamos identificar os novos intervalos de integração. Vamos analisar novamente o esboço que fizemos ao resolver a letra a) dessa questão (no Capítulo 2):

O limite superior é x = a 2 - y 2 . Se elevarmos os dois lados ao quadrado, passamos a ter:

x 2 + y 2 = a 2

Essa é a equação de uma circunferência de raio a . Como a raiz tem que ser positiva, vamos desenhar apenas a parte com x > 0 .

A outra equação que limita x é x = y cotg b (ou y = x tg b ), que nada mais é do que uma reta de coeficiente angular igual a b , que desenhamos acima em azul.

Agora vamos analisar os limites de y : temos 0 e ( a sen b ) , ou seja, dois números. Mas ( a sen b ) não é um valor qualquer de y , é exatamente o ponto em que a reta corta a circunferência, pois:

a cos b 2 + a sen b 2 = a 2  

Assim, o ponto ( a cos b ,   a sen b ) satisfaz as duas equações.

Vemos, então, que em coordenadas polares podemos descrever essa região dessa forma:

D = r , θ 0 r a ;   0 θ b

Pra cobrir toda a região, o raio r tem que variar de 0 a a e o ângulo θ de 0 a b .

Passo 3

Antes de substituir tais valores na integral do problema, perceba que:

x 4 - y 4 = x 2 + y 2 x 2 - y 2

Isso vai ajudar a simplificar a integral porque teremos: sen 2 θ + cos 2 θ = 1 .

D   x 2 + y 2 x 2 - y 2   d x   d y = 0 b   0 a r 2 sen 2 θ + r 2 cos 2 θ ( r 2 cos 2 θ - r 2 sen 2 θ ) r d r d θ =

= 0 b   0 a cos 2 θ - sen 2 θ r 5 d r d θ =

Passo 4

Agora vamos integrar em relação a r ;

= 0 b cos 2 θ - sen 2 θ r 6 6     r = 0 r = a d θ =

= 0 b cos 2 θ - sen 2 θ a 6 6 d θ =

Passo 5

Antes de integrar em relação a θ , vamos aplicar a equação trigonométrica:

cos 2 θ - sen 2 θ = cos 2 θ

Caso você não se lembrasse dessa fórmula, poderia utilizar as equações do arco duplo: cos 2 θ = 1 + cos 2 θ 2 e sen 2 θ = 1 - cos 2 θ 2 , só teria um pouquinho mais de trabalho.

Assim, temos:

a 6 6 0 b cos 2 θ d θ =

= a 6 6 sen 2 θ 2 0 b =

Resposta

a 6 sen 2 b 12

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