Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

UNICAMP, Cálculo 2, P2 - 2014.2 - 5ª Vespertino, Questão 2

Calcule R   s e n   x 2 + y 2 d A , em que R é a região acima do eixo x e dentro da circunferência x 2 + y 2 = 9 . Esboce a região de integração.

Passo 1

Vamos começar esboçando a região de integração, temos meia volta de um círculo de raio 3 centrado na origem:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, agora vamos escrever matematicamente essa região. Como temos um círculo, vamos usar coordenadas polares:

x = r cos θ

y = r   s e n   θ

J = r

A região para a ser então 0 θ π (pois temos meia volta trigonométrica) e 0 r 3 , pois o raio varia desde a origem até a circunferência de raio 3 .

Passo 3

Fazendo essa substituição na integral, temos:

= 0 π 0 3 s e n   r cos θ 2 + r   s e n   θ 2 r   d r d θ =

= 0 π 0 3 s e n r 2 r   d r d θ =

Passo 4

Para integrar isso aí, vamos começar fazendo:

r 2 = u

2 r   d r = d u                     r   d r = d u 2

r = 0                 u = 0

r = 3                   u = 9

Substituindo na integral:

= 0 π 0 9 s e n u d u 2 d θ =

Integrando isso aí:

= 1 2 0 π - cos ( u ) 0 9 d θ =

= 1 2 0 π 1 - c o s ( 9 ) d θ =

Agora em relação a θ :

= 1 - cos 9 2 θ 0 π =

1 - cos 9 π 2

Resposta

1 - cos 9 π 2

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