Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

UNICAMP, Cálculo 2, Exame - 2018.1 - 4º Vespertino, Questão 3

Questão 3: Calcule

D   ln x 2 + y 2   d A

Onde D é a região do primeiro quadrante entre as circunferências x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4 .

Passo 1

Bem, a nossa primeira tarefa para resolver uma integral dupla como essa é definitivamente entender a região de integração. O que, para a nossa alegria, a região D é uma região entre as circunferências e está apenas no primeiro quadrante, então a gente pode desenhar colocando isso no papel:

Viu só?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como estamos trabalhando com uma região circular, podemos usar as famosas coordenadas polares onde vamos trocar:

x = r cos θ

y = r sin θ

O Jacobiano dessa mudança é um cara especial que, caso você não se recorde...

J = r

Outra equação vinda da soma quadrática dessas coordenadas é a equação do círculo:

x 2 + y 2 = r 2

SHOW! Mudança de coordenadas feitas, vamos para a nossa segunda tarefa: encontrar a variação das novas coordenadas r e θ dentro da nossa região D . Partiu?

Passo 3

Para encontrar tais variações, sempre é interessante colocar como as variações acontecem nas coordenadas polares em cima da nossa região:

Veja que o raio r é o cara que para formar D , começa a variar na circunferência de raio 1 e sai na segunda de raio 2 :

1 r 2

Quanto ao ângulo θ , veja que ele está saindo de 0 ° e indo até 90 ° ...

0 θ π 2

Passo 4

Voltando então para a integral que temos que fazer, e substituindo tudo, não se esquecendo de multiplicar a função pelo Jacobiano...

D   ln x 2 + y 2   d A = 0 π 2 1 2 ln r 2 J   d r d θ =

0 π 2 1 2 ln r 2 r   d r d θ

A integral está montada, agora é só correr para o abraço e calcular mesmo!

Passo 5

0 π 2 1 2 ln r 2 r   d r d θ = 0 π 2 1 2 ln r 2 r   d r d θ

Podemos calcular essa integral de dentro

    ln r 2 r   d r

Fazendo uma integração por partes, onde vamos considerar o l n como sendo a função que deve ser derivada u enquanto o d v = r d r ...

u = ln r 2                                   d u = 1 r 2 2 r   d r = 2 r d r

d v = r   d r                                                                   v = r 2 2                                                      

Pela fórmula de integração por partes:

u   d v = u v - v   d u        

    ln r 2 r   d r = ln r 2 r 2 2 - r 2 2 2 r d r        

    ln r 2 r   d r = ln r 2 r 2 2 - r d r        

    ln r 2 r   d r = r 2 2 ln r 2 - r 2 2

Logo...

0 π 2 1 2 ln r 2 r   d r d θ = 0 π 2 r 2 2 ln r 2 - r 2 2 1 2 d θ =

0 π 2 2 2 2 ln 2 2 - 2 2 2 - 1 2 ln 1 - 1 2 d θ    

0 π 2 2 ln 4 - 2 - 1 2 ln 1 + 1 2 d θ = 0 π 2 2 ln 4 - 3 2 d θ

2 ln 4 - 3 2 0 π 2 d θ = 2 ln 4 - 3 2 π 2 =

π ln 4 - 3 π 4

Resposta

π ln 4 - 3 π 4

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