Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

UFRJ, Cálculo 3, PF - 2018.2, Questão 1

Questão 1: Sejam 0 < a < b < 1 dois números reais positivos. Calcule a integral dupla Ω   1 x   d A , onde

Ω = x ,   y |   a x y b x ,   2 x x 2 + y 2 4 x .

Passo 1

Vamos começar desenhando a nossa região!

x 2 + y 2 = 2 x

É uma circunferência de raio 1 e deslocada uma unidade em x , pois lembrando que x - 1 2 = x 2 - 2 x + 1 :

x 2 - 2 x + y 2 = 0          

x - 1 2 - 1 + y 2 = 0        

x - 1 2 + y 2 = 1

Viu só?! Semelhantemente x 2 + y 2 = 4 x é uma circunferência de raio 2 e deslocada duas unidades em x , assim:

Além disso, sabemos que a região deve estar acima da reta y = a x e abaixo da reta y = b x :

Entendeu?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

ORA! Se estivermos trabalhando com uma região circular nada mais justo que pensarmos nas coordenadas polares:

x = r cos θ

y = r sin θ

x 2 + y 2 = r 2

J = r

Agora temos que descobrir quais são os limites de integração de r e θ , vamos nessa?

Passo 3

Para isso, vamos comparar a região R com as verdadeiras variações de r e θ das coordenadas polares:

Veja que r varia de uma circunferência até a outra:

c i r c u n f e r ê n c i a   d e   r a i o   m e n o r r c i r c u n f e r ê n c i a   d e   r a i o   m a i o r

R e t a   m a i s   a b a i x o θ R e t a   m a i s   a c i m a

Vamos começar com a variação de r :

c i r c u n f e r ê n c i a   d e   r a i o   m e n o r :

x 2 + y 2 = 2 x             r 2 = 2 r cos θ      

r = 2 cos θ

Enquanto isso:

c i r c u n f e r ê n c i a   d e   r a i o   m a i o r :

x 2 + y 2 = 4 x             r 2 = 4 r cos θ      

r = 4 cos θ

Assim:

2 cos θ r 4 cos θ

Vamos ver os limites de θ agora:

R e t a   m a i s   a b a i x o :

y = a x             r sin θ = a   r cos θ      

sin θ cos θ = a                     tan θ = a      

θ = arctan a

Enquanto isso:

R e t a   m a i s   a c i m a :

y = b x             r sin θ = b   r cos θ      

sin θ cos θ = b                     tan θ = b      

θ = arctan b

Então:

arctan a θ arctan b

Passo 4

Finalmente podemos retornar à integral dupla:

Ω   1 x   d A

E substituir as coordenadas polares, não se esquecendo do Jacobiano:

Ω   1 x   d A = arctan a arctan b 2 cos θ 4 cos θ 1 r cos θ J   d r d θ =

arctan a arctan b 2 cos θ 4 cos θ 1 r cos θ r   d r d θ = arctan a arctan b 2 cos θ 4 cos θ 1 cos θ   d r d θ

Integrando...

arctan a arctan b 1 cos θ 2 cos θ 4 cos θ   d r d θ = arctan a arctan b 1 cos θ 4 cos θ - 2 cos θ d θ =

arctan a arctan b 1 cos θ 2 cos θ d θ = arctan a arctan b 2 d θ =

2 arctan b - arctan a

Resposta

2 arctan b - arctan a

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas