Exercícios Resolvidos de Obtenção da Série de Fourier

USP, Cálculo 4, P2 - 2011, Questão 2b

Determine c 1 , c 2 R de modo que

0 π cos x - c 1 sen x - c 2 sen 2 x 2 d x

Assuma o menor valor possível.

Passo 1

b)

Galera, pensa comigo, pra minimizar aquela integral que ele quer, basta minimizar o cara ao quadrado

cos x - c 1 sen x - c 2 sen 2 x

Repara que o período da integral é de 0 a π , isso nos dá uma ideia de que queremos uma extensão da função na verdade, isso porque ela só está definida naquele intervalo que ele deu.

𝐴 gente pode pensar no seguinte, a gente usa série de Fourier para aproximar funções, certo?

E se fizemos essa função que esta subtraindo de cos x tender a ela mesma, opa, então esse cara vai tender a ser cada vez menor, estamos minimizando!

Então vamos calcular os coeficientes da série de Fourier da extensão de cos x e eles serão c 1 e c 2 !

O primeiro detalhe é, mas qual a extensão que vamos tomar, a par ou a ímpar? Como queremos que apareça só seno ali vamos pegar a extensão ímpar daquela função.

Mas cuidado, estamos fazer isso porque o termo que tá dentro da integral está carão da série de Fourier, mas perceba que são os termos do somatório em 1 e 2 .

Assim

c 1 = b 1

c 2 = b 2

Sempre que ele pedir para minimizar essa parada é só fazer dess jeito.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A primeira coisa a fazer é a extensão ímpar daquela função, vamos chamar f ~ essa extensão ímpar.

Nesse caso só queremos os coeficientes da série de Fourier, então não vamos nos preocupar em achar o gráfico dessa extensão nem nada. Lembrando que quando pegamos uma extensão ímpar de f x vamos ter

a n = 0

E

b n = 2 L 0 L f x sen n x d x

A grande questão é, qual o limite dessa parada? Repara que eu falei de uma extensão ímpar daquela função que está no intervalo de 0 à π , então o nosso período vai ser 2 π , isso nos diz que

2 L = 2 π

E

L = π

Então

b n = 2 π 0 π cos x sen n x d x

Passo 3

Vamos agora achar b 1 e b 2 , começando com b 1

b 1 = 2 π 0 π cos x sen x d x

Podemos escrever essa integral assim

b 1 = 2 π 0 π 2 cos x sen x d x - 2 π π 2 π cos x sen x d x

Lembrando que

cos x sen x = sen 2 x 2

Vamos ter

b 1 = 2 π 0 π 2 sen 2 x 2 d x - 2 π π 2 π sen 2 x 2 d x

b 1 = 2 π - cos 2 x 4 0 π / 2 - 2 π - cos 2 x 4 π / 2 π

b 1 = 2 π - cos π 4 - - cos 0 4 - 2 π - cos 2 π 4 - - cos π 4

b 1 = 2 π 1 4 + 1 4 - 2 π - 1 4 - 1 4

b 1 = 2 π 1 2 + 2 π 1 2

b 1 = 2 π

Passo 4

Vamos agora achar b 2

b 2 = 2 π 0 π cos x sen 2 x d x

Podemos escrever essa integral assim

b 2 = 2 π 0 π 2 cos x sen 2 x d x - 2 π π 2 π cos x sen 2 x d x

Lembrando que

cos x sen 2 x = sen 3 x + sen x 2

Vamos ter

b 2 = 2 π 0 π 2 sen 3 x + sen x 2 d x - 2 π π 2 π sen 3 x + sen x 2 d x

b 2 = 2 π - cos 3 x 6 - cos x 2 0 π / 2 - 2 π - cos 3 x 6 - cos x 2 π / 2 π

b 2 = 2 π - cos 3 π 2 6 - cos π 2 2 - - cos 0 6 - cos 0 2 - 2 π - cos 3 π 6 - cos π 2 - - cos 3 π 2 6 - cos π 2 2

b 2 = 2 π 1 6 + 1 2 - 2 π 1 6 + 1 2

b 2 = 0

Passo 5

Então vamos ter

c 1 = 2 π

c 2 = 0

Resposta

c 1 = 2 π

c 2 = 0

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